Что делает этот калькулятор
Инструмент вычисляет математическую константу Пи, суммируя член за членом один из трёх знаменитых быстро сходящихся бесконечных рядов: первый ряд Рамануджана 1914 года, второй ряд Рамануджана 1914 года или ряд братьев Чудновских 1987 года. Эти ряды примечательны тем, что каждый новый член сразу даёт сразу несколько верных десятичных знаков, поэтому буквально нескольких членов достаточно, чтобы воспроизвести Пи с полной точностью двойной разрядности. Это чистая математика, которая работает одинаково везде и не зависит от каких-либо региональных правил.
Как пользоваться
Выберите формулу из выпадающего списка, задайте максимальное число суммируемых членов и укажите, сколько десятичных знаков выводить. Калькулятор складывает члены \(n = 0, 1, 2, \ldots\) и останавливается, как только текущее значение Пи перестаёт меняться, — обычно это происходит уже после нескольких шагов. Поскольку движок использует арифметику двойной точности IEEE-754, надёжно точными остаются около 15–16 значащих цифр независимо от выбранного режима отображения.
Разбор формулы
Ряд «Рамануджан 1» вычисляет величину, обратную Пи: постоянный множитель \(\sqrt{8}/9801\) умножается на бесконечную сумму, где n-й член объединяет факториальное отношение \((4n)!/(4^n n!)^4\) с линейным множителем \((1103 + 26390n)\), делённым на \(99^{4n}\). Как только сумма \(S\) найдена, Пи восстанавливается как \(1/(\text{множитель} \times S)\). Ряд Чудновского устроен похоже, но сходится ещё быстрее — добавляя примерно по 14 знаков на каждый член.
$$\frac{1}{\pi} = \frac{\sqrt{8}}{9801} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(4n)!}{(4^n n!)^4} \cdot \frac{1103 + 26390n}{99^{4n}}$$
Разбор примера
Возьмём «Рамануджан 1» лишь с членом \(n=0\): множитель равен \(\sqrt{8}/9801 = 0{,}000288583\ldots\), а член при \(n=0\) равен \(1 \times 1103 = 1103\). Тогда \(1/\text{Пи} = 0{,}000288583 \times 1103 = 0{,}31831\ldots\), откуда \(\text{Пи} = 3{,}14159273\) — это уже верно примерно до шести знаков после запятой. Добавление члена при \(n=1\) даёт \(\text{Пи} = 3{,}14159265358979\), что верно приблизительно до 16 знаков.
Частые вопросы
Почему увеличение числа выводимых знаков не повышает точность? Числа с плавающей запятой двойной точности хранят лишь около 15–16 значащих цифр; для большего нужна арифметика произвольной точности.
Сколько членов реально нужно? Для полной двойной точности «Рамануджан 1» требует около 2 членов, а Чудновский — всего 1–2.
Какой ряд самый быстрый? Ряд Чудновского сходится быстрее всех и именно его используют в современных рекордных вычислениях Пи.
