Обратная матрица n×n (через LU-разложение)

Введите расчет

Размер матрицы (n) 1 x 1 2 x 2 3 x 3 4 x 4 5 x 5 6 x 6 7 x 7 8 x 8

Матрица A {a_ij}

Значащих цифр в результате 6 10 14 18 22 26 30 34 38 42 46 50

Математическая формула

Результатов

Inverse matrix A⁻¹

[

-40	16	9
13	-5	-3
5	-2	-1

]

Размер матрицы (n)	3
Определитель det(A)	-1
Метод	LU-разложение с частичным выбором ведущего элемента

Что считает этот калькулятор

Калькулятор находит обратную к квадратной вещественной матрице A размера n×n. Обратная матрица A⁻¹ — это единственная матрица, для которой произведение A на A⁻¹ равно единичной матрице I. Обратная существует не у каждой матрицы: обратимы только квадратные матрицы с ненулевым определителем (невырожденные). Если ваша матрица вырождена, калькулятор честно сообщит об этом, а не выдаст бессмысленный набор чисел.

Как пользоваться

Выберите размер матрицы \(n\) из выпадающего списка — сетка ввода автоматически перестроится под \(n\) строк и \(n\) столбцов. Введите вещественное число в каждую ячейку матрицы A. Укажите, сколько значащих цифр показывать в результате, и получите обратную матрицу, её определитель и использованный метод. Настройка значащих цифр влияет только на округление при выводе, но не на сами вычисления — внутри они всегда выполняются с полной двойной точностью.

Как работает метод

В основе лежит LU-разложение с частичным выбором ведущего элемента. Сначала матрица раскладывается в виде \(PA = LU\), где P — матрица перестановок, переставляющая строки так, чтобы на диагонали оказывался наибольший доступный ведущий элемент (это повышает численную устойчивость и исключает деление на очень малые числа), L — нижнетреугольная матрица с единицами на диагонали, а U — верхнетреугольная.

$$P\,A = L\,U \quad\Longrightarrow\quad A^{-1} = U^{-1} L^{-1} P$$

Затем для каждого столбца \(e_k\) единичной матрицы решается система \(L y = P e_k\) прямой подстановкой и \(U x = y\) обратной подстановкой; полученный вектор \(x\) становится \(k\)-м столбцом A⁻¹. Определитель равен произведению диагональных элементов U, умноженному на знак перестановки строк.

$$\det(A) = (-1)^{s}\prod_{k=1}^{n} U_{kk}$$

Каждый столбец обратной матрицы находится прямой, а затем обратной подстановкой по L и U.

LU-разложение с частичным выбором ведущего элемента представляет PA как произведение нижней треугольной матрицы L и верхней треугольной U.

Разбор примера

Возьмём \(A = [[4, 3], [6, 3]]\). Её определитель равен \(4 \times 3 - 3 \times 6 = 12 - 18 = -6\) — он ненулевой, значит матрица обратима. По известной формуле для матриц 2×2 получаем

$$A^{-1} = \frac{1}{\det} \times [[3, -3], [-6, 4]] = [[-0.5, 0.5], [1, -0.6666666667]]$$

Если умножить A на эту обратную матрицу, получится единичная матрица — ответ верен.

Частые вопросы

Что будет, если матрица вырожденная? Если определитель равен нулю (с точностью до малого допуска), обратной матрицы не существует, и калькулятор выведет сообщение «вырожденная / необратимая».

Почему LU-разложение, а не формула через присоединённую матрицу? LU-разложение с выбором ведущего элемента гораздо устойчивее и эффективнее для больших матриц, чем разложение по алгебраическим дополнениям, стоимость которого растёт факториально.

Влияет ли выбор значащих цифр на вычисления? Нет. Расчёт всегда ведётся с полной точностью; настройка определяет лишь то, сколько значащих цифр отображается на экране.