Калькулятор обратной матрицы

Введите расчет

Размер матрицы 2 × 2 3 × 3

a11

a12

a13

a21

a22

a23

a31

a32

a33

Для матрицы 2×2 заполните только левые верхние ячейки: a11, a12, a21, a22.

Результатов

Определитель det(A)

10

Матрица A обратима (det ≠ 0)

Inverse Matrix A^-1

0,6	-0,7
-0,2	0,4

Что такое калькулятор обратной матрицы?

Этот инструмент вычисляет обратную к квадратной матрице — размерности 2×2 или 3×3. Обратная матрица для матрицы A, которая обозначается \(A^{-1}\), — это такая матрица, для которой выполняется равенство \(A \cdot A^{-1} = E\), где E — единичная матрица. Обратная матрица существует только тогда, когда определитель не равен нулю; в противном случае матрица называется вырожденной и обратной к ней не существует.

Как пользоваться калькулятором

Выберите размер матрицы (2×2 или 3×3), введите каждый элемент в соответствующую ячейку — и калькулятор выдаст определитель и полную обратную матрицу. Для матрицы 2×2 используются только четыре левые верхние ячейки (a11, a12, a21, a22). Если определитель равен нулю, калькулятор сообщит, что обратной матрицы не существует.

Разбор формулы

Общий метод опирается на присоединённую (союзную) матрицу:

$$A^{-1} = \frac{1}{\det A}\,\operatorname{adj}(A)$$

Присоединённая матрица — это транспонированная матрица алгебраических дополнений. Для матрицы 2×2 вида [[a, b], [c, d]] формула упрощается до

$$A^{-1} = \frac{1}{\det A} \begin{bmatrix} a_{22} & -a_{12} \\ -a_{21} & a_{11} \end{bmatrix}, \quad \det A = a_{11}\,a_{22} - a_{12}\,a_{21}$$

Для матрицы 3×3 нужно вычислить девять алгебраических дополнений, транспонировать их и каждое разделить на определитель:

$$\det A = a_{11}(a_{22}a_{33} - a_{23}a_{32}) - a_{12}(a_{21}a_{33} - a_{23}a_{31}) + a_{13}(a_{21}a_{32} - a_{22}a_{31})$$

Реклама

Обратная матрица — это присоединённая матрица, делённая на определитель.

Умножение матрицы на обратную даёт единичную матрицу I.

Пример с решением

Возьмём A = [[4, 7], [2, 6]]. Определитель равен \((4 \cdot 6) - (7 \cdot 2) = 24 - 14 = 10\). Обратная матрица — это

$$\frac{1}{10} \begin{bmatrix} 6 & -7 \\ -2 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0{,}6 & -0{,}7 \\ -0{,}2 & 0{,}4 \end{bmatrix}$$

Проверить можно так: умножение \(A \cdot A^{-1}\) должно дать единичную матрицу.

Частые вопросы

Почему у моей матрицы нет обратной? Потому что её определитель равен нулю — строки или столбцы линейно зависимы, а значит матрица вырожденная.

Всегда ли существует обратная матрица? Нет. Обратимы только квадратные матрицы с ненулевым определителем.

Как проверить результат? Умножьте исходную матрицу на полученную обратную — в итоге должна получиться единичная матрица (единицы на главной диагонали, нули в остальных позициях).