Máy Tính Ma Trận Nghịch Đảo là gì?
Công cụ này tính ma trận nghịch đảo của một ma trận vuông — cỡ 2×2 hoặc 3×3. Ma trận nghịch đảo của ma trận A, ký hiệu \(A^{-1}\), là ma trận thỏa mãn \(A \cdot A^{-1} = I\), trong đó I là ma trận đơn vị. Nghịch đảo chỉ tồn tại khi định thức khác 0; ngược lại, ma trận được gọi là suy biến và không thể nghịch đảo được.
Cách sử dụng
Chọn kích thước ma trận (2×2 hoặc 3×3), nhập từng phần tử vào ô tương ứng, công cụ sẽ trả về định thức và toàn bộ ma trận nghịch đảo. Với ma trận 2×2, chỉ bốn ô góc trên bên trái (a11, a12, a21, a22) được sử dụng. Nếu định thức bằng 0, công cụ sẽ thông báo rằng ma trận không có nghịch đảo.
Giải thích công thức
Phương pháp tổng quát dùng ma trận phụ hợp: \(A^{-1} = \operatorname{adj}(A) / \det(A)\). Ma trận phụ hợp là ma trận chuyển vị của ma trận các phần bù đại số (cofactor). Với ma trận 2×2 [[a, b], [c, d]], công thức rút gọn thành
$$A^{-1} = \frac{1}{\det A} \begin{bmatrix} a_{22} & -a_{12} \\ -a_{21} & a_{11} \end{bmatrix}, \quad \det A = a_{11}\,a_{22} - a_{12}\,a_{21}$$Với ma trận 3×3, ta tính chín phần bù đại số, chuyển vị chúng rồi chia mỗi phần tử cho định thức.
$$\begin{gathered} A^{-1} = \frac{1}{\det A}\,\operatorname{adj}(A) \\[1.5em] \det A = a_{11}(a_{22}a_{33} - a_{23}a_{32}) - a_{12}(a_{21}a_{33} - a_{23}a_{31}) + a_{13}(a_{21}a_{32} - a_{22}a_{31}) \end{gathered}$$
Ví dụ minh họa
Xét A = [[4, 7], [2, 6]]. Định thức là
$$(4 \cdot 6) - (7 \cdot 2) = 24 - 14 = 10$$Nghịch đảo là
$$\frac{1}{10} \cdot \begin{bmatrix} 6 & -7 \\ -2 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.6 & -0.7 \\ -0.2 & 0.4 \end{bmatrix}$$Bạn có thể kiểm tra lại bằng cách nhân \(A \cdot A^{-1}\) sẽ ra ma trận đơn vị.
Câu hỏi thường gặp
Tại sao ma trận của tôi không có nghịch đảo? Vì định thức của nó bằng 0 — các hàng hoặc các cột phụ thuộc tuyến tính với nhau, nên ma trận bị suy biến.
Nghịch đảo có luôn tồn tại không? Không. Chỉ những ma trận vuông có định thức khác 0 mới khả nghịch.
Làm sao để kiểm tra kết quả? Nhân ma trận ban đầu với ma trận nghịch đảo vừa tính được; kết quả phải là ma trận đơn vị (các số 1 trên đường chéo chính và số 0 ở các vị trí còn lại).
