ما هي حاسبة معكوس المصفوفة؟
تحسب هذه الأداة معكوس مصفوفة مربعة — سواء كانت من النوع 2×2 أو 3×3. معكوس المصفوفة A، ويُرمز له بـ \(A^{-1}\)، هو المصفوفة التي تحقق العلاقة \(A \cdot A^{-1} = I\)، حيث \(I\) هي مصفوفة الوحدة (المصفوفة المحايدة). ولا يوجد معكوس إلا عندما يكون المحدد لا يساوي صفرًا؛ أما إذا كان المحدد صفرًا فتُسمى المصفوفة شاذة (غير قابلة للعكس).
كيفية الاستخدام
اختر حجم المصفوفة (2×2 أو 3×3)، ثم أدخل كل عنصر في الخلية المخصصة له، وستعرض لك الحاسبة قيمة المحدد ومصفوفة المعكوس كاملةً. في حالة المصفوفة 2×2 تُستخدَم الخلايا الأربع في الزاوية العلوية اليسرى فقط (a11 وa12 وa21 وa22). وإذا كان المحدد يساوي صفرًا، فستُخبرك الأداة بأن المصفوفة ليس لها معكوس.
شرح الصيغة الرياضية
تعتمد الطريقة العامة على المصفوفة المرافقة:
$$A^{-1} = \frac{1}{\det A}\,\operatorname{adj}(A)$$والمصفوفة المرافقة هي منقول مصفوفة العوامل المرافقة (الكوفاكتورات). وبالنسبة لمصفوفة 2×2 على الصورة [[a, b], [c, d]] تتبسّط الصيغة إلى:
$$A^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$$أما في حالة المصفوفة 3×3 فنحسب تسعة عوامل مرافقة، ثم ننقلها (نأخذ المنقول)، ونقسم كلًّا منها على المحدد.
مثال محلول
لنأخذ \(A = \begin{bmatrix} 4 & 7 \\ 2 & 6 \end{bmatrix}\). يكون المحدد مساويًا لـ
$$\det A = (4 \cdot 6) - (7 \cdot 2) = 24 - 14 = 10$$ويكون المعكوس مساويًا لـ
$$A^{-1} = \frac{1}{10} \begin{bmatrix} 6 & -7 \\ -2 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.6 & -0.7 \\ -0.2 & 0.4 \end{bmatrix}$$ويمكنك التحقق من النتيجة بضرب A في \(A^{-1}\) لتحصل على مصفوفة الوحدة.
الأسئلة الشائعة
لماذا لا يوجد معكوس لمصفوفتي؟ لأن محددها يساوي صفرًا — أي أن صفوفها أو أعمدتها مترابطة خطيًّا، ومن ثَمَّ تكون المصفوفة شاذة.
هل المعكوس موجود دائمًا؟ لا. المصفوفات المربعة التي يكون محددها لا يساوي صفرًا فقط هي القابلة للعكس.
كيف أتحقق من صحة النتيجة؟ اضرب المصفوفة الأصلية في المعكوس الناتج؛ من المفترض أن تحصل على مصفوفة الوحدة (آحاد على القطر الرئيسي وأصفار في باقي المواضع).
