ما هي حاسبة نصف الزاوية؟
تتيح لك هذه الأداة حساب جيب نصف زاوية معطاة وجيب تمامها وظلها. كل ما عليك إدخاله هو الزاوية θ بالدرجات، فتعيد لك الحاسبة قيمة \(\theta/2\) إلى جانب \(\sin(\theta/2)\) و\(\cos(\theta/2)\) و\(\tan(\theta/2)\). تُعد متطابقات نصف الزاوية من الأساسيات التي لا غنى عنها في حساب المثلثات والتكامل في التفاضل والتكامل وفي الفيزياء، إذ تمكّنك من التعبير عن دوال \(\theta/2\) مباشرةً بدلالة θ.
طريقة الاستخدام
أدخل أي زاوية θ بالدرجات (يُسمح بالكسور العشرية) ثم اضغط للحساب. تقوم الحاسبة أولًا بقسمة الزاوية على اثنين، ثم تحسب الدوال المثلثية الثلاث عند \(\theta/2\). تُؤخذ الإشارات تلقائيًا من الربع الذي تقع فيه \(\theta/2\) فعليًا، لذا تكون النتائج صحيحة دائمًا دون الحاجة إلى اختيار الإشارة ± يدويًا.
شرح الصيغة
المتطابقات الكلاسيكية هي:
$$\sin\frac{\theta}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\theta}{2}},\quad \cos\frac{\theta}{2}=\pm\sqrt{\frac{1+\cos\theta}{2}},\quad \tan\frac{\theta}{2}=\frac{1-\cos\theta}{\sin\theta}$$وبما أن صيغ الجذر التربيعي تحمل التباسًا في الإشارة، فإن هذه الحاسبة تحسب الدوال مباشرةً عند نصف الزاوية \(\theta/2\)، وهو ما يعطي القيمة بالإشارة الصحيحة في كل ربع مع مطابقة المتطابقات تمامًا.
مثال محلول
عندما تكون \(\theta = 90\degree\) فإن \(\theta/2 = 45\degree\). ومن ثم \(\sin(45\degree) \approx 0.707107\) و\(\cos(45\degree) \approx 0.707107\) و\(\tan(45\degree) = 1\). وبتطبيق المتطابقة
$$\tan\frac{\theta}{2}=\frac{1-\cos 90\degree}{\sin 90\degree} = \frac{1-0}{1} = 1$$نجد أن ظل نصف الزاوية لـ \(\theta = 90\degree\) هو \(\tan(45\degree) = 1\). (ملاحظة: من الأمثلة الشائعة في الاختبارات استخدام زاوية θ تُعطي عندها \(\theta/2\) ظلًا يساوي \(\sqrt{2}-1 \approx 0.41421\)، أي عندما \(\theta = 45\degree\)، حيث \(\tan(22.5\degree) = \sqrt{2}-1\).)
الأسئلة الشائعة
لماذا لا تظهر الإشارة ± في الإجابة؟ تحسب الأداة القيمة عند الزاوية الفعلية \(\theta/2\)، لذا تعيد القيمة الوحيدة الصحيحة بإشارتها بدلًا من جذرين ملتبسين.
ماذا لو كانت \(\tan(\theta/2)\) غير معرّفة؟ عندما تكون \(\theta/2 = 90\degree + k\cdot 180\degree\) يصبح جيب التمام صفرًا فيكون الظل غير معرّف؛ وعندها تُظهر النتيجة NaN.
هل يمكنني إدخال زوايا أكبر من 360°؟ نعم — تعمل الأداة مع أي قيمة حقيقية بالدرجات، بما في ذلك القيم السالبة.
