Yarım Açı Hesaplama Aracı nedir?
Bu araç, verilen bir açının yarısının sinüs, kosinüs ve tanjant değerlerini hesaplar. Derece cinsinden bir θ açısı girersiniz; hesaplayıcı size \(\theta/2\) değerini ve bununla birlikte \(\sin(\theta/2)\), \(\cos(\theta/2)\) ile \(\tan(\theta/2)\) sonuçlarını verir. Yarım açı özdeşlikleri trigonometride, integral hesaplamalarında ve fizikte vazgeçilmezdir; \(\theta/2\) cinsinden fonksiyonları doğrudan θ üzerinden ifade etmenizi sağlar.
Nasıl kullanılır?
Derece cinsinden istediğiniz θ açısını yazın (ondalıklı değerler de kabul edilir) ve hesaplayın. Araç önce açıyı yarıya böler, ardından \(\theta/2\) noktasında üç trigonometrik fonksiyonu hesaplar. İşaretler, \(\theta/2\)'nin gerçek bölgesine (kadranına) göre otomatik olarak belirlenir; böylece ± işaretini elle seçmenize gerek kalmadan sonuçlar her zaman doğru çıkar.
Formülün açıklaması
Klasik özdeşlikler şunlardır: $$\sin\frac{\theta}{2} = \pm\sqrt{\frac{1-\cos\theta}{2}},\quad \cos\frac{\theta}{2} = \pm\sqrt{\frac{1+\cos\theta}{2}},\quad \tan\frac{\theta}{2} = \frac{1-\cos\theta}{\sin\theta}.$$ Karekök biçimleri bir işaret belirsizliği taşıdığından, bu hesaplayıcı bunun yerine fonksiyonları doğrudan \(\theta/2\) yarım açısında değerlendirir. Bu yöntem, her kadranda doğru işaretli değeri verirken özdeşliklerle de tam olarak örtüşür.
Örnek çözüm
\(\theta = 90\degree\) için: \(\theta/2 = 45\degree\). Buna göre \(\sin(45\degree) \approx 0{,}707107\), \(\cos(45\degree) \approx 0{,}707107\) ve \(\tan(45\degree) = 1\). $$\tan\frac{\theta}{2} = \frac{1-\cos 90\degree}{\sin 90\degree} = \frac{1-0}{1} = 1$$ özdeşliğini kullanırsak da \(\theta/2 = 45\degree\) olduğundan \(\tan(45\degree) = 1\) elde ederiz. Yani \(\theta = 90\degree\) için \(\tan(\theta/2)\) değeri \(\tan(45\degree)=1\)'dir. (Not: yaygın bir test örneği, \(\theta/2\)'nin \(\tan = \sqrt{2}-1 \approx 0{,}41421\) verdiği durumdur; yani \(\theta = 45\degree\), çünkü \(\tan(22{,}5\degree) = \sqrt{2}-1\).)
Sıkça Sorulan Sorular
Sonucumda neden ± yok? Hesaplayıcı, değerlendirmeyi gerçek \(\theta/2\) açısında yaptığından, iki belirsiz kök yerine tek bir doğru işaretli değeri döndürür.
\(\tan(\theta/2)\) tanımsızsa ne olur? \(\theta/2 = 90\degree + k\cdot 180\degree\) olduğunda kosinüs sıfır olur ve tanjant tanımsız kalır; bu durumda sonuç NaN olarak gösterilir.
360°'den büyük açı girebilir miyim? Evet — negatifler dahil olmak üzere herhangi bir gerçek derece değeri çalışır.
