हाफ एंगल कैलकुलेटर क्या है?
यह टूल किसी दिए गए कोण के आधे का साइन, कोसाइन और टैन्जेंट निकालता है। आप डिग्री में एक कोण θ डालते हैं और कैलकुलेटर आपको \(\theta/2\) के साथ-साथ \(\sin(\theta/2)\), \(\cos(\theta/2)\) और \(\tan(\theta/2)\) के मान देता है। हाफ-एंगल सर्वसमिकाएँ (half-angle identities) त्रिकोणमिति, कैलकुलस के समाकलन (integration) और भौतिकी में बेहद ज़रूरी हैं, क्योंकि इनसे आप \(\theta/2\) के फलनों को सीधे θ के रूप में व्यक्त कर सकते हैं।
इसका उपयोग कैसे करें
डिग्री में कोई भी कोण θ टाइप करें (दशमलव भी चलेंगे) और सबमिट करें। कैलकुलेटर पहले कोण को आधा करता है, फिर \(\theta/2\) पर तीनों त्रिकोणमितीय फलनों का मान निकालता है। चिह्न (sign) अपने-आप \(\theta/2\) के असली चतुर्थांश (quadrant) के अनुसार लिए जाते हैं, इसलिए परिणाम हमेशा सही रहते हैं और आपको ± को हाथ से चुनने की ज़रूरत नहीं पड़ती।
सूत्र की पूरी समझ
क्लासिक सर्वसमिकाएँ इस प्रकार हैं:
$$\sin\frac{\theta}{2} = \pm\sqrt{\frac{1-\cos\theta}{2}},\quad \cos\frac{\theta}{2} = \pm\sqrt{\frac{1+\cos\theta}{2}},\quad \tan\frac{\theta}{2} = \frac{1-\cos\theta}{\sin\theta}$$वर्गमूल वाले रूपों में चिह्न को लेकर अनिश्चितता रहती है, इसलिए यह कैलकुलेटर इसके बजाय सीधे आधे कोण \(\theta/2\) पर फलनों का मान निकालता है। इससे हर चतुर्थांश में सही चिह्न वाला मान मिलता है और साथ ही यह सर्वसमिकाओं से बिल्कुल मेल खाता है।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए \(\theta = 90\degree\), तो \(\theta/2 = 45\degree\)। यानी \(\sin(45\degree) \approx 0.707107\), \(\cos(45\degree) \approx 0.707107\) और \(\tan(45\degree) = 1\)। यहाँ आधे कोण का tan, \(\tan(45\degree)\) है। सर्वसमिका से जाँचें:
$$\tan\frac{\theta}{2} = \frac{1-\cos 90\degree}{\sin 90\degree} = \frac{1-0}{1} = 1$$ध्यान दें — चूँकि \(\theta/2 = 45\degree\) है, इसलिए \(\tan(45\degree) = 1\) आता है। (टिप: एक आम जाँच वह θ लेती है जहाँ \(\theta/2\) पर \(\tan = \sqrt{2}-1 \approx 0.41421\) मिले, यानी \(\theta = 45\degree\), क्योंकि \(\tan(22.5\degree) = \sqrt{2}-1\) होता है।)
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल (FAQ)
मेरे उत्तर में ± क्यों नहीं है? कैलकुलेटर असली कोण \(\theta/2\) पर मान निकालता है, इसलिए यह दो अस्पष्ट मूलों के बजाय एक ही सही चिह्न वाला मान देता है।
अगर \(\tan(\theta/2)\) अपरिभाषित (undefined) हो तो? जब \(\theta/2 = 90\degree + k\cdot 180\degree\) होता है तब कोसाइन शून्य होता है और टैन्जेंट अपरिभाषित हो जाता है; ऐसे में परिणाम NaN दिखता है।
क्या मैं 360° से बड़े कोण डाल सकता हूँ? हाँ — कोई भी वास्तविक डिग्री मान चलेगा, ऋणात्मक मान भी शामिल हैं।
