पावर रिड्यूसिंग कैलकुलेटर

गणना दर्ज करें

कोण θ

कोण की इकाई Degrees Radians

परिणाम

sin²θ (पावर-रिड्यूस्ड)

0.25

= (1 − cos 2θ) / 2

cos²θ = (1 + cos 2θ) / 2	0.75
tan²θ = (1 − cos 2θ) / (1 + cos 2θ)	0.333333
cos 2θ	0.5

पावर रिड्यूसिंग कैलकुलेटर क्या है?

पावर-रिड्यूसिंग सर्वसमिकाओं की मदद से आप वर्ग वाले त्रिकोणमितीय फलनों (\(\sin^{2}\theta\), \(\cos^{2}\theta\), \(\tan^{2}\theta\)) को सिर्फ़ दोगुने कोण की पहली घात वाले कोसाइन, यानी \(\cos 2\theta\), के रूप में दोबारा लिख सकते हैं। कैलकुलस और भौतिकी में जब आपको त्रिकोणमितीय फलनों का समाकलन (इंटीग्रेशन) करना हो, व्यंजकों को सरल बनाना हो या समीकरण हल करने हों, तब यह तरीका बहुत काम आता है। यह कैलकुलेटर आपके दिए गए किसी भी कोण के लिए—चाहे वह डिग्री में हो या रेडियन में—तीनों रिड्यूस्ड रूपों का मान निकाल देता है।

इसका इस्तेमाल कैसे करें

अपना कोण \(\theta\) डालें, चुनें कि वह डिग्री में है या रेडियन में, और कैलकुलेटर तुरंत \(\sin^{2}\theta\), \(\cos^{2}\theta\), \(\tan^{2}\theta\) के साथ-साथ बीच का मान \(\cos 2\theta\) भी दिखा देगा। डिग्री को भीतर ही भीतर इस सूत्र से रेडियन में बदला जाता है: $$\theta_{\text{rad}} = \theta_{\text{deg}} \times \frac{\pi}{180}$$

सूत्र की व्याख्या

दोगुने-कोण की सर्वसमिका \(\cos 2\theta = 1 - 2\sin^{2}\theta = 2\cos^{2}\theta - 1\) से शुरू करके हम वर्ग वाले पदों को अलग करते हैं:

$$\sin^{2}\theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}, \quad \cos^{2}\theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$$ और इन दोनों को आपस में भाग देने पर $$\tan^{2}\theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{1 + \cos 2\theta}$$ मिलता है। जब \(1 + \cos 2\theta = 0\) हो जाता है (यानी \(\theta = 90^\circ, 270^\circ, \ldots\)) तब \(\tan\) वाला रूप अपरिभाषित होता है।

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ये सर्वसमिकाएँ वर्गित एकल कोण को द्विगुणित कोण \(2\theta\) के रैखिक कोसाइन में बदल देती हैं।

\(\sin^{2}\theta\), \(\cos^{2}\theta\) और \(\tan^{2}\theta\) के लिए तीन घात-घटाने वाले सर्वसमिकाएँ।

हल किया गया उदाहरण

मान लीजिए \(\theta = 30^\circ\)। तब \(2\theta = 60^\circ\) और \(\cos 60^\circ = 0.5\)। इसलिए $$\sin^{2}30^\circ = \frac{1 - 0.5}{2} = 0.25, \quad \cos^{2}30^\circ = \frac{1 + 0.5}{2} = 0.75$$ और $$\tan^{2}30^\circ = \frac{0.5}{1.5} \approx 0.3333$$ ये सभी मान जाने-पहचाने सटीक मानों से मेल खाते हैं (\(\sin 30^\circ = 0.5\), \(\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\))।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल

पावर-रिड्यूसिंग सर्वसमिकाएँ क्यों इस्तेमाल करें? ये त्रिकोणमितीय फलनों की घात को कम कर देती हैं, जिससे कई समाकलन (जैसे \(\int \sin^{2}\theta \, d\theta\)) बंद रूप (closed form) में हल हो पाते हैं।

अगर tan²θ अपरिभाषित हो तो क्या होगा? जब \(1 + \cos 2\theta\) शून्य के बराबर हो जाता है, तो हर (denominator) शून्य हो जाता है, इसलिए उन कोणों पर \(\tan^{2}\theta\) का कोई परिमित मान नहीं होता।

डिग्री बेहतर है या रेडियन? दोनों से एक ही त्रिकोणमितीय परिणाम मिलता है; कैलकुलस के काम के लिए रेडियन चुनें और ज्यामिति के लिए डिग्री।