Калькулятор понижения степени тригонометрических функций

Введите расчет

Угол θ

Единицы измерения угла Degrees Radians

Результатов

sin²θ (с пониженной степенью)

0,25

= (1 − cos 2θ) / 2

cos²θ = (1 + cos 2θ) / 2	0,75
tan²θ = (1 − cos 2θ) / (1 + cos 2θ)	0,333333
cos 2θ	0,5

Что такое калькулятор понижения степени?

Формулы понижения степени позволяют переписать квадраты тригонометрических функций (\(\sin^{2}\theta\), \(\cos^{2}\theta\), \(\tan^{2}\theta\)) через косинус двойного угла \(\cos 2\theta\) в первой степени. Это незаменимый приём при интегрировании тригонометрических выражений, упрощении формул и решении уравнений в математическом анализе и физике. Калькулятор сразу выдаёт все три приведённые формы для любого угла, который вы введёте, — в градусах или радианах.

Как пользоваться

Введите угол \(\theta\), выберите единицы измерения — градусы или радианы — и калькулятор мгновенно покажет \(\sin^{2}\theta\), \(\cos^{2}\theta\), \(\tan^{2}\theta\), а также промежуточное значение \(\cos 2\theta\). Градусы переводятся в радианы по формуле $$\theta_{\text{рад}} = \theta_{\text{град}} \times \frac{\pi}{180}.$$

Разбор формулы

Отталкиваемся от формулы двойного угла $$\cos 2\theta = 1 - 2\sin^{2}\theta = 2\cos^{2}\theta - 1$$ и выражаем из неё квадраты функций:

$$\sin^{2}\theta = \frac{1-\cos 2\theta}{2}, \quad \cos^{2}\theta = \frac{1+\cos 2\theta}{2},$$ а разделив одно на другое, получаем $$\tan^{2}\theta = \frac{1-\cos 2\theta}{1+\cos 2\theta}.$$ Тангенс не определён, когда \(1 + \cos 2\theta = 0\) (то есть при \(\theta = 90^\circ, 270^\circ, \ldots\)).

Реклама

Формулы преобразуют квадрат одинарного угла в линейный косинус двойного угла \(2\theta\).

Три формулы понижения степени для \(\sin^{2}\theta\), \(\cos^{2}\theta\) и \(\tan^{2}\theta\).

Пример с решением

Пусть \(\theta = 30^\circ\). Тогда \(2\theta = 60^\circ\) и \(\cos 60^\circ = 0{,}5\). Значит, $$\sin^{2}30^\circ = \frac{1 - 0{,}5}{2} = 0{,}25, \quad \cos^{2}30^\circ = \frac{1 + 0{,}5}{2} = 0{,}75,$$ а $$\tan^{2}30^\circ = \frac{0{,}5}{1{,}5} \approx 0{,}3333.$$ Это совпадает с известными точными значениями (\(\sin 30^\circ = 0{,}5\), \(\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\)).

Частые вопросы

Зачем нужны формулы понижения степени? Они снижают показатель степени у тригонометрических функций, благодаря чему многие интегралы (например, \(\int \sin^{2}\theta \, d\theta\)) удаётся взять в явном виде.

Что делать, если \(\tan^{2}\theta\) не определён? Когда \(1 + \cos 2\theta\) обращается в ноль, знаменатель равен нулю, поэтому при таких углах \(\tan^{2}\theta\) не имеет конечного значения.

Что лучше — градусы или радианы? Тригонометрический результат одинаков; для задач анализа удобнее радианы, а для геометрии — градусы.