차수 낮추기 공식 계산기란?
차수 낮추기 항등식(power-reducing identities)은 제곱된 삼각함수(\(\sin^{2}\theta\), \(\cos^{2}\theta\), \(\tan^{2}\theta\))를 2θ에 대한 1차 코사인, 즉 \(\cos 2\theta\)만으로 다시 표현할 수 있게 해줍니다. 이는 삼각함수를 적분하거나, 식을 간단히 정리하거나, 미적분·물리학에서 방정식을 풀 때 꼭 필요한 도구입니다. 이 계산기는 도(degree) 또는 라디안(radian)으로 입력한 임의의 각도에 대해 세 가지 변형식을 모두 계산해 줍니다.
사용 방법
각도 \(\theta\)를 입력하고 단위가 도인지 라디안인지 선택하면, 계산기가 \(\sin^{2}\theta\), \(\cos^{2}\theta\), \(\tan^{2}\theta\)와 중간값 \(\cos 2\theta\)를 즉시 보여줍니다. 도 단위는 내부적으로 $$\theta_{\text{rad}} = \theta_{\text{deg}} \times \frac{\pi}{180}$$ 공식을 이용해 라디안으로 변환됩니다.
공식 풀이
2배각 항등식 \(\cos 2\theta = 1 - 2\sin^{2}\theta = 2\cos^{2}\theta - 1\) 에서 출발하여 제곱항만 남도록 정리하면 다음과 같습니다.
$$\sin^{2}\theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}, \quad \cos^{2}\theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$$ 가 되고, 이 둘을 나누면 $$\tan^{2}\theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{1 + \cos 2\theta}$$ 가 됩니다. 탄젠트 형태는 \(1 + \cos 2\theta = 0\) 일 때(즉 \(\theta = 90^{\circ}, 270^{\circ}, \ldots\)) 정의되지 않습니다.
예제 풀이
\(\theta = 30^{\circ}\)라고 합시다. 그러면 \(2\theta = 60^{\circ}\)이고 \(\cos 60^{\circ} = 0.5\) 입니다. 따라서 $$\sin^{2}30^{\circ} = \frac{1 - 0.5}{2} = 0.25, \quad \cos^{2}30^{\circ} = \frac{1 + 0.5}{2} = 0.75, \quad \tan^{2}30^{\circ} = \frac{0.5}{1.5} \approx 0.3333$$ 이 됩니다. 이 값들은 알려진 정확한 값(\(\sin 30^{\circ} = 0.5\), \(\cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}\))과 일치합니다.
자주 묻는 질문
차수 낮추기 항등식은 왜 사용하나요? 삼각함수의 지수를 낮춰 주기 때문에, \(\int \sin^{2}\theta \, d\theta\) 같은 여러 적분을 닫힌 형태(closed form)로 풀 수 있게 됩니다.
tan²θ가 정의되지 않으면 어떻게 되나요? \(1 + \cos 2\theta\)가 0이 되면 분모가 사라지므로, 그러한 각도에서는 \(\tan^{2}\theta\)가 유한한 값을 갖지 않습니다.
도와 라디안 중 어느 것이 더 나은가요? 두 단위 모두 동일한 삼각함수 결과를 줍니다. 미적분 작업에는 라디안을, 기하 문제에는 도를 선택하세요.
