거듭제곱의 거듭제곱 법칙이란?
거듭제곱의 거듭제곱 법칙은 지수 법칙 중 가장 기본이 되는 규칙입니다. 어떤 거듭제곱 식을 다시 거듭제곱할 때는 두 지수를 그냥 서로 곱하기만 하면 된다는 내용이죠. 즉 \((a^m)^n = a^{m\times n}\) 입니다. 이 계산기는 소수나 음수를 포함한 어떤 밑과 지수 조합에도 이 법칙을 적용합니다.
계산기 사용법
밑 (a), 안쪽 지수 (m), 바깥쪽 지수 (n)를 입력하세요. 계산기는 m과 n을 곱해 합쳐진 지수를 구한 뒤, 그 지수만큼 밑을 거듭제곱하여 최종 값을 보여줍니다. 또한 합쳐진 지수도 함께 표시해 주어 풀이 과정을 따라갈 수 있습니다.
공식 이해하기
거듭제곱은 곱셈을 반복하는 것이기 때문에, \(a^m\)을 n제곱한다는 것은 \(a^m\)을 n번 늘어놓고 곱한다는 뜻입니다. 이렇게 하면 밑이 m개씩 n번 쌓여 총 m×n개가 됩니다. 그래서 다음이 성립합니다.
$$(a^m)^n = a^{m\cdot n}$$
곱셈은 교환법칙이 성립하므로 m과 n의 순서는 결과에 영향을 주지 않습니다.
예제 풀이
\((2^3)^2\)을 살펴봅시다. 먼저 지수끼리 곱합니다:
$$3 \times 2 = 6$$
그다음 \(2^6 = 64\)를 계산합니다. 직접 확인해 볼 수도 있는데요, \(2^3 = 8\)이고 \(8^2 = 64\)이므로 두 방법의 결과가 똑같이 맞아떨어집니다.
자주 묻는 질문
음수 지수에서도 적용되나요? 네. 예를 들어 \((5^2)^{-1} = 5^{-2} = 0.04\) 입니다.
분수 지수는 어떤가요? 분수 지수는 거듭제곱근을 나타내지만, \((a^m)^n = a^{m\cdot n}\)은 여전히 성립합니다. 예를 들어 \((4^2)^{0.5} = 4^1 = 4\) 입니다.
\((a^m)^n\)과 \(a^m\cdot a^n\)은 같은가요? 아닙니다. 곱셈 법칙인 \(a^m\cdot a^n = a^{m+n}\)은 지수를 더하지만, 거듭제곱의 거듭제곱 법칙은 지수를 곱합니다.
