Qu'est-ce que la règle de la puissance d'une puissance ?
La règle de la puissance d'une puissance fait partie des lois fondamentales des exposants. Elle énonce que lorsqu'une expression élevée à une puissance est elle-même élevée à une autre puissance, il suffit de multiplier les deux exposants entre eux : \((a^m)^n = a^{m\times n}\). Ce calculateur applique cette règle pour n'importe quelle base et n'importe quel couple d'exposants, y compris les nombres décimaux et négatifs.
Comment utiliser ce calculateur
Saisissez la base (a), l'exposant intérieur (m) et l'exposant extérieur (n). L'outil multiplie m et n pour trouver l'exposant combiné, puis élève la base à cet exposant combiné afin d'obtenir le résultat final. Il affiche également l'exposant combiné, ce qui vous permet de suivre le raisonnement étape par étape.
La formule expliquée
Comme l'exponentiation n'est qu'une multiplication répétée, élever \(a^m\) à la puissance n revient à écrire \(a^m\) n fois et à multiplier ces termes. On empile ainsi m copies de la base répétées n fois, soit au total m×n copies. D'où $$(a^m)^n = a^{m\cdot n}.$$ L'ordre de m et n n'a aucune importance, puisque la multiplication est commutative.
Exemple concret
Prenons \((2^3)^2\). On multiplie d'abord les exposants : $$3 \times 2 = 6.$$ On calcule ensuite \(2^6 = 64\). Vous pouvez le vérifier directement : \(2^3 = 8\), puis \(8^2 = 64\). Les deux méthodes donnent le même résultat.
Foire aux questions
Cela fonctionne-t-il avec des exposants négatifs ? Oui. Par exemple, \((5^2)^{-1} = 5^{-2} = 0{,}04\).
Et avec des exposants fractionnaires ? Les exposants fractionnaires représentent des racines, donc \((a^m)^n\) reste égal à \(a^{m\cdot n}\) — par exemple, \((4^2)^{0,5} = 4^1 = 4\).
\((a^m)^n\) est-il identique à \(a^m\cdot a^n\) ? Non. La règle du produit \(a^m\cdot a^n = a^{m+n}\) additionne les exposants, tandis que la règle de la puissance d'une puissance les multiplie.
