¿Qué es la regla de la potencia de una potencia?
La regla de la potencia de una potencia es una de las leyes fundamentales de los exponentes. Establece que, cuando una expresión elevada a una potencia se eleva a su vez a otra potencia, basta con multiplicar ambos exponentes entre sí: $$\left(a^{m}\right)^{n} = a^{m\times n}$$ Esta calculadora aplica la regla para cualquier base y cualquier par de exponentes, incluidos decimales y negativos.
Cómo usar esta calculadora
Introduce la base (a), el exponente interior (m) y el exponente exterior (n). La herramienta multiplica \(m\) por \(n\) para hallar el exponente combinado y, a continuación, eleva la base a ese exponente combinado para obtener el valor final. Además, muestra el exponente combinado para que puedas seguir el cálculo paso a paso.
La fórmula explicada
Como la potenciación no es más que una multiplicación repetida, elevar \(a^{m}\) a la n-ésima potencia significa escribir \(a^{m}\) un total de \(n\) veces y multiplicar. Esto apila \(m\) copias de la base, \(n\) veces, lo que da un total de \(m\times n\) copias. De ahí que $$\left(a^{m}\right)^{n} = a^{m\cdot n}$$ El orden de \(m\) y \(n\) es indiferente, ya que la multiplicación es conmutativa.
Ejemplo resuelto
Tomemos \(\left(2^{3}\right)^{2}\). Primero multiplicamos los exponentes: $$3 \times 2 = 6$$ Después calculamos \(2^{6} = 64\). Puedes comprobarlo de forma directa: \(2^{3} = 8\) y \(8^{2} = 64\). Ambos caminos coinciden.
Preguntas frecuentes
¿Funciona con exponentes negativos? Sí. Por ejemplo, \(\left(5^{2}\right)^{-1} = 5^{-2} = 0{,}04\).
¿Y con exponentes fraccionarios? Los exponentes fraccionarios representan raíces, así que \(\left(a^{m}\right)^{n}\) sigue siendo igual a \(a^{m\cdot n}\); por ejemplo, \(\left(4^{2}\right)^{0{,}5} = 4^{1} = 4\).
¿Es \(\left(a^{m}\right)^{n}\) lo mismo que \(a^{m}\cdot a^{n}\)? No. La regla del producto \(a^{m}\cdot a^{n} = a^{m+n}\) suma los exponentes, mientras que la regla de la potencia de una potencia los multiplica.
