Что такое правило возведения степени в степень?
Возведение степени в степень — одно из базовых свойств степеней, которое изучают в школьной алгебре. Оно гласит: если выражение, уже возведённое в степень, возводится в ещё одну степень, то показатели нужно просто перемножить: \((a^m)^n = a^{m\times n}\). Этот калькулятор применяет правило к любому основанию и к любой паре показателей — в том числе дробным и отрицательным.
Как пользоваться калькулятором
Введите основание (a), внутренний показатель (m) и внешний показатель (n). Инструмент перемножит m и n, найдёт итоговый показатель, а затем возведёт основание в эту степень и покажет окончательное значение. Дополнительно выводится сам итоговый показатель — так удобнее проследить за вычислениями.
Разбор формулы
Возведение в степень — это повторное умножение. Возвести \(a^m\) в степень \(n\) означает записать \(a^m\) ровно n раз и всё перемножить. В итоге основание берётся m раз в каждой из n копий, то есть всего m×n раз. Отсюда и получается равенство $$\left(a^m\right)^n = a^{m\cdot n}$$ Порядок m и n роли не играет: умножение коммутативно.
Разбор примера
Возьмём \((2^3)^2\). Сначала перемножим показатели: $$3 \times 2 = 6$$ Затем вычислим $$2^6 = 64$$ Проверить можно и напрямую: \(2^3 = 8\), а \(8^2 = 64\). Оба способа дают один и тот же ответ.
Частые вопросы
Работает ли это с отрицательными показателями? Да. Например, \((5^2)^{-1} = 5^{-2} = 0{,}04\).
А с дробными показателями? Дробный показатель соответствует корню, поэтому правило \((a^m)^n = a^{m\cdot n}\) по-прежнему действует — скажем, \((4^2)^{0{,}5} = 4^1 = 4\).
Это то же самое, что \(a^m\cdot a^n\)? Нет. По правилу произведения степеней \(a^m\cdot a^n = a^{m+n}\) показатели складываются, а при возведении степени в степень они перемножаются.
