Máy tính hạ bậc lượng giác là gì?
Các công thức hạ bậc cho phép bạn viết lại những hàm lượng giác bình phương (\(\sin^{2}\theta\), \(\cos^{2}\theta\), \(\tan^{2}\theta\)) chỉ thông qua cosin bậc nhất của góc nhân đôi, tức \(\cos 2\theta\). Đây là kỹ thuật không thể thiếu khi tính tích phân các hàm lượng giác, rút gọn biểu thức hay giải phương trình trong giải tích và vật lý. Máy tính này sẽ tính cả ba dạng đã hạ bậc cho bất kỳ góc nào bạn nhập, theo độ hoặc radian.
Cách sử dụng
Nhập góc \(\theta\), chọn đơn vị là độ hay radian, máy sẽ lập tức trả về \(\sin^{2}\theta\), \(\cos^{2}\theta\), \(\tan^{2}\theta\) cùng giá trị trung gian \(\cos 2\theta\). Góc theo độ được tự động đổi sang radian theo công thức $$\theta_{\text{rad}} = \theta_{\text{deg}} \times \frac{\pi}{180}$$
Giải thích công thức
Xuất phát từ công thức góc nhân đôi $$\cos 2\theta = 1 - 2\sin^{2}\theta = 2\cos^{2}\theta - 1,$$ ta biến đổi để tách riêng các số hạng bình phương:
$$\sin^{2}\theta = \frac{1-\cos 2\theta}{2}, \quad \cos^{2}\theta = \frac{1+\cos 2\theta}{2},$$ và khi chia hai biểu thức này cho nhau ta được \(\tan^{2}\theta = \frac{1-\cos 2\theta}{1+\cos 2\theta}\). Dạng tang không xác định khi \(1 + \cos 2\theta = 0\) (tức \(\theta = 90^\circ, 270^\circ, \ldots\)).
Ví dụ minh họa
Cho \(\theta = 30^\circ\). Khi đó \(2\theta = 60^\circ\) và \(\cos 60^\circ = 0{,}5\). Vậy $$\sin^{2}30^\circ = \frac{1 - 0{,}5}{2} = 0{,}25, \quad \cos^{2}30^\circ = \frac{1 + 0{,}5}{2} = 0{,}75, \quad \tan^{2}30^\circ = \frac{0{,}5}{1{,}5} \approx 0{,}3333.$$ Các kết quả này khớp với những giá trị chính xác đã biết (\(\sin 30^\circ = 0{,}5\), \(\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\)).
Câu hỏi thường gặp
Tại sao nên dùng công thức hạ bậc? Chúng làm giảm số mũ của hàm lượng giác, nhờ đó nhiều tích phân (chẳng hạn \(\int \sin^{2}\theta \, d\theta\)) có thể giải được dưới dạng tường minh.
Nếu \(\tan^{2}\theta\) không xác định thì sao? Khi \(1 + \cos 2\theta\) bằng 0, mẫu số triệt tiêu nên \(\tan^{2}\theta\) không có giá trị hữu hạn tại những góc đó.
Nên dùng độ hay radian? Cả hai đều cho cùng kết quả lượng giác; hãy chọn radian khi làm giải tích và chọn độ khi làm hình học.
