Üs İndirgeme Hesaplayıcı

Hesaplamaya Girin

θ açısı

Açı birimi Degrees Radians

Sonuç

sin²θ (üs indirgenmiş)

0,25

= (1 − cos 2θ) / 2

cos²θ = (1 + cos 2θ) / 2	0,75
tan²θ = (1 − cos 2θ) / (1 + cos 2θ)	0,333333
cos 2θ	0,5

Üs İndirgeme Hesaplayıcı nedir?

Üs indirgeme özdeşlikleri, trigonometrik fonksiyonların karelerini (\(\sin^{2}\theta\), \(\cos^{2}\theta\), \(\tan^{2}\theta\)) yalnızca iki katı açının birinci dereceden kosinüsü, yani \(\cos 2\theta\) cinsinden yeniden yazmanızı sağlar. Bu, kalkülüs ve fizikte trigonometrik fonksiyonların integralini alırken, ifadeleri sadeleştirirken veya denklem çözerken büyük kolaylık sağlar. Bu hesaplayıcı, derece ya da radyan cinsinden girdiğiniz herhangi bir açı için üç indirgenmiş ifadenin tamamını hesaplar.

Nasıl kullanılır?

\(\theta\) açınızı girin, derece mi yoksa radyan mı olduğunu seçin; hesaplayıcı anında \(\sin^{2}\theta\), \(\cos^{2}\theta\), \(\tan^{2}\theta\) ile ara değer olan \(\cos 2\theta\) sonuçlarını verir. Dereceler, dahili olarak $$\theta_{\text{rad}} = \theta_{\text{der}} \times \frac{\pi}{180}$$ formülüyle radyana çevrilir.

Formülün açıklaması

İki katlı açı özdeşliği $$\cos 2\theta = 1 - 2\sin^{2}\theta = 2\cos^{2}\theta - 1$$ ifadesinden yola çıkarak kareli terimleri yalnız bırakacak şekilde düzenleriz:

$$\sin^{2}\theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}, \quad \cos^{2}\theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$$ olur; bu ikisini birbirine böldüğümüzde ise $$\tan^{2}\theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{1 + \cos 2\theta}$$ elde edilir. \(1 + \cos 2\theta = 0\) olduğunda (yani \(\theta = 90^\circ, 270^\circ, \ldots\)) tanjant biçimi tanımsızdır.

Reklam

Bu özdeşlikler, tek açının karesini iki kat açının \(2\theta\) doğrusal kosinüsüne dönüştürür.

\(\sin^{2}\theta\), \(\cos^{2}\theta\) ve \(\tan^{2}\theta\) için üç derece düşürme özdeşliği.

Çözümlü örnek

\(\theta = 30^\circ\) olsun. Bu durumda \(2\theta = 60^\circ\) ve \(\cos 60^\circ = 0{,}5\) olur. Buna göre $$\sin^{2}30^\circ = \frac{1 - 0{,}5}{2} = 0{,}25, \quad \cos^{2}30^\circ = \frac{1 + 0{,}5}{2} = 0{,}75$$ ve $$\tan^{2}30^\circ = \frac{0{,}5}{1{,}5} \approx 0{,}3333$$ bulunur. Bu sonuçlar bilinen tam değerlerle (\(\sin 30^\circ = 0{,}5\), \(\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\)) örtüşür.

Sıkça Sorulan Sorular

Üs indirgeme özdeşlikleri neden kullanılır? Trigonometrik fonksiyonların üssünü düşürerek, \(\int \sin^{2}\theta \, d\theta\) gibi pek çok integralin kapalı biçimde çözülebilmesini sağlarlar.

\(\tan^{2}\theta\) tanımsızsa ne olur? \(1 + \cos 2\theta\) sıfıra eşit olduğunda payda yok olur; bu nedenle \(\tan^{2}\theta\) söz konusu açılarda sonlu bir değer almaz.

Derece mi radyan mı daha iyi? İkisi de aynı trigonometrik sonucu verir; kalkülüs çalışmaları için radyanı, geometri için dereceyi tercih edin.