Qu'est-ce que le calculateur de réduction de puissance ?
Les identités de réduction de puissance permettent de réécrire les fonctions trigonométriques au carré (\(\sin^{2}\theta\), \(\cos^{2}\theta\), \(\tan^{2}\theta\)) à l'aide d'un simple cosinus de l'angle doublé à la puissance un, \(\cos 2\theta\). C'est un outil indispensable pour intégrer des fonctions trigonométriques, simplifier des expressions ou résoudre des équations en analyse et en physique. Ce calculateur évalue les trois formes réduites pour n'importe quel angle saisi, en degrés ou en radians.
Comment l'utiliser
Saisissez votre angle \(\theta\), indiquez s'il est exprimé en degrés ou en radians, et le calculateur renvoie aussitôt \(\sin^{2}\theta\), \(\cos^{2}\theta\), \(\tan^{2}\theta\) ainsi que la valeur intermédiaire \(\cos 2\theta\). Les degrés sont convertis en radians en interne avec la formule $$\theta_{\text{rad}} = \theta_{\text{deg}} \times \frac{\pi}{180}$$
La formule expliquée
En partant de l'identité de l'angle double \(\cos 2\theta = 1 - 2\sin^{2}\theta = 2\cos^{2}\theta - 1\), on réorganise les termes pour isoler les carrés :
$$\sin^{2}\theta = \frac{1-\cos 2\theta}{2}, \quad \cos^{2}\theta = \frac{1+\cos 2\theta}{2}$$ et en divisant l'une par l'autre on obtient $$\tan^{2}\theta = \frac{1-\cos 2\theta}{1+\cos 2\theta}$$ La forme de la tangente n'est pas définie lorsque \(1 + \cos 2\theta = 0\) (c'est-à-dire pour \(\theta = 90\degree, 270\degree, \ldots\)).
Exemple résolu
Prenons \(\theta = 30\degree\). Alors \(2\theta = 60\degree\) et \(\cos 60\degree = 0{,}5\). On a donc $$\sin^{2}30\degree = \frac{1 - 0{,}5}{2} = 0{,}25, \quad \cos^{2}30\degree = \frac{1 + 0{,}5}{2} = 0{,}75, \quad \tan^{2}30\degree = \frac{0{,}5}{1{,}5} \approx 0{,}3333$$ Ces résultats correspondent bien aux valeurs exactes connues (\(\sin 30\degree = 0{,}5\), \(\cos 30\degree = \frac{\sqrt{3}}{2}\)).
FAQ
Pourquoi utiliser les identités de réduction de puissance ? Elles abaissent l'exposant des fonctions trigonométriques, ce qui rend de nombreuses intégrales (comme \(\int \sin^{2}\theta \, d\theta\)) résolubles sous forme exacte.
Que se passe-t-il si \(\tan^{2}\theta\) n'est pas définie ? Lorsque \(1 + \cos 2\theta\) vaut zéro, le dénominateur s'annule : \(\tan^{2}\theta\) n'a alors aucune valeur finie à ces angles.
Faut-il préférer les degrés ou les radians ? Les deux donnent le même résultat trigonométrique ; optez pour les radians en analyse et pour les degrés en géométrie.
