Qu'est-ce qu'un tronc de pyramide ?
Un tronc de pyramide est le solide qui subsiste lorsqu'on sectionne le sommet d'une pyramide par un plan parallèle à sa base. Il possède deux faces parallèles — une petite face supérieure et une grande face inférieure — qui sont des polygones semblables (carrés, rectangles, triangles, hexagones, etc.). Ce calculateur détermine directement le volume du solide à partir des aires de ces deux faces et de la distance perpendiculaire qui les sépare.
Comment utiliser ce calculateur
Saisissez trois valeurs : l'aire de la face supérieure (\(S_1\)), l'aire de la face inférieure (\(S_2\)) et la hauteur (\(h\)). Veillez à utiliser des unités cohérentes. Si vos aires sont exprimées en centimètres carrés et votre hauteur en centimètres, le volume sera obtenu en centimètres cubes. Aucune conversion d'unité n'est effectuée : assurez-vous donc que l'unité de longueur de la hauteur, une fois élevée au carré, corresponde à l'unité utilisée pour les aires. Toutes les valeurs saisies doivent être positives ou nulles.
La formule expliquée
Le volume est donné par $$V = \frac{\text{Hauteur }(h)}{3}\left(S_1 + S_2 + \sqrt{S_1\cdot S_2}\right)$$ Il s'agit d'un cas particulier de la formule du prismatoïde. Les deux premiers termes correspondent aux aires des faces supérieure et inférieure ; le troisième, la moyenne géométrique \(\sqrt{S_1\cdot S_2}\), rend compte de la section qui se rétrécit progressivement entre les deux faces. Lorsque les deux faces sont identiques (\(S_1 = S_2 = S\)), la formule se réduit à \(V = h\cdot S\), soit le volume d'un prisme. Lorsque la face supérieure se réduit à un point (\(S_1 = 0\)), elle devient \(V = \frac{h}{3}S_2\), le volume d'une pyramide complète.
Exemple résolu
Supposons que l'aire supérieure vaut 1, l'aire inférieure vaut 3 et la hauteur vaut 2. Le terme de moyenne géométrique est \(\sqrt{1\cdot 3} = \sqrt{3} \approx 1{,}7320508\). On obtient alors $$V = \frac{2}{3}(1 + 3 + 1{,}7320508) = \frac{2}{3}(5{,}7320508) \approx 3{,}8213672 \text{ unités cubes.}$$
FAQ
Cela fonctionne-t-il pour n'importe quelle forme de pyramide ? Oui — tronc à base carrée, rectangulaire, triangulaire ou de n'importe quel polygone, du moment que les faces supérieure et inférieure sont parallèles et semblables.
Et si je ne connais que les longueurs des côtés, pas les aires ? Calculez d'abord l'aire de chaque face (par exemple côté \(\times\) côté pour un carré), puis saisissez ces aires ici.
Pourquoi la formule contient-elle une racine carrée ? Le terme \(\sqrt{S_1\cdot S_2}\) est la moyenne géométrique des deux faces ; il représente la section qui évolue progressivement de l'une à l'autre et c'est lui qui rend la formule du prismatoïde exacte pour un tronc de pyramide.
