ما هو الهرم الناقص؟
الهرم الناقص (أو الهرم المقطوع) هو المجسّم الذي يتبقّى عندما نقطع قمة الهرم بمستوٍ موازٍ للقاعدة. ويتميّز بوجود وجهين متوازيين — وجه علوي أصغر ووجه سفلي أكبر — وكلاهما مضلّعان متشابهان (مربّعان أو مستطيلان أو مثلّثان أو سداسيان وما إلى ذلك). تحسب هذه الأداة الحجم المحصور مباشرةً انطلاقًا من مساحتي هذين الوجهين والمسافة العمودية بينهما.
كيفية استخدام الحاسبة
أدخل ثلاث قيم: مساحة الوجه العلوي (\(S_1\))، ومساحة الوجه السفلي (\(S_2\))، والارتفاع (\(h\)). واحرص على استخدام وحدات متوافقة. فإذا كانت المساحتان بالسنتيمتر المربّع والارتفاع بالسنتيمتر، فإن الحجم يظهر بالسنتيمتر المكعّب. لا تجري الأداة أي تحويل للوحدات، لذا تأكّد من أن وحدة الطول المستخدمة للارتفاع تُعطي عند تربيعها الوحدة نفسها المستخدمة للمساحات. ويجب أن تكون جميع القيم المُدخَلة غير سالبة.
شرح الصيغة
يُعطى الحجم بالصيغة $$V = \frac{\text{Height }(h)}{3}\left(S_1 + S_2 + \sqrt{S_1\cdot S_2}\right)$$ وهي حالة خاصة من صيغة المنشور الموشوري (prismatoid). الحدّان الأولان هما مساحتا الوجهين العلوي والسفلي، أما الحدّ الثالث، أي الوسط الهندسي \(\sqrt{S_1\cdot S_2}\)، فيمثّل المقطع العرضي الذي يتدرّج بسلاسة بين الوجهين. وعندما يتساوى الوجهان (\(S_1 = S_2 = S\)) تختزل الصيغة إلى \(V = h\cdot S\)، وهو حجم المنشور. وعندما يتقلّص الوجه العلوي إلى نقطة (\(S_1 = 0\)) تختزل إلى \(V = \frac{h}{3}S_2\)، وهو حجم الهرم الكامل.
مثال محلول
لنفترض أن المساحة العليا تساوي 1، والمساحة السفلى تساوي 3، والارتفاع يساوي 2. حدّ الوسط الهندسي هو \(\sqrt{1\cdot 3} = \sqrt{3} \approx 1.7320508\). ومن ثَمّ $$V = \frac{2}{3}(1 + 3 + 1.7320508) = \frac{2}{3}(5.7320508) \approx 3.8213672$$ وحدة مكعّبة.
الأسئلة الشائعة
هل تصلح الصيغة لأي شكل من أشكال الأهرام؟ نعم — سواء كان الهرم الناقص مربّعًا أو مستطيلًا أو مثلّثًا أو أي مضلّع آخر، ما دام الوجهان العلوي والسفلي متوازيين ومتشابهين.
ماذا لو كنت أعرف أطوال الأضلاع فقط دون المساحات؟ احسب مساحة كل وجه أولًا (مثلًا الضلع \(\times\) الضلع للمربّع)، ثم أدخل تلك المساحات هنا.
لماذا تتضمّن الصيغة جذرًا تربيعيًا؟ الحدّ \(\sqrt{S_1\cdot S_2}\) هو الوسط الهندسي للوجهين، ويمثّل المقطع العرضي المتغيّر تدريجيًا بينهما؛ وهو ما يجعل صيغة المنشور الموشوري دقيقة تمامًا في حالة الهرم الناقص.
