ما هو الهرم الناقص؟
الهرم الناقص (أو المقطوع الرأس) هو المجسم الناتج عند قطع قمة الهرم بمستوٍ موازٍ لقاعدته. وله وجهان متوازيان — قاعدة سفلية أكبر وقاعدة علوية أصغر — يربط بينهما جوانب مائلة. تحسب هذه الأداة حجم أي هرم ناقص مباشرةً من مساحة وجهيه المتوازيين والارتفاع العمودي الفاصل بينهما، لذا فهي تعمل مع المقاطع المربعة والمستطيلة والمثلثة أو أي مقطع متعدد الأضلاع.
كيفية الاستخدام
أدخل مساحة المقطع السفلي (A1)، ومساحة المقطع العلوي (A2)، والارتفاع العمودي (h) بين الوجهين المتوازيين. يجب أن تستخدم جميع القيم نظام وحدات واحدًا: فإذا كانت المساحات بالمتر المربع والارتفاع بالمتر، تكون النتيجة بالمتر المكعب. اضغط على زر الحساب للحصول على الحجم فورًا.
شرح المعادلة
يعتمد حساب الحجم على علاقة المنشوريات (على نمط طريقة سيمبسون):
$$V = \frac{h}{3}\left(A_1 + A_2 + \sqrt{A_1 A_2}\right)$$
يمثل الحد \(\sqrt{A_1 \cdot A_2}\) الوسط الهندسي للمساحتين، وهو يعبّر عن مساحة المقطع الواقع في المنتصف. وهذا التعبير الواحد يغطي كل الحالات: فعندما تكون \(A_2 = 0\) يؤول إلى حجم الهرم الكامل، \(V = \frac{h}{3}\cdot A_1\)، وعندما تكون \(A_1 = A_2\) يعطي حجم منشور، \(V = h\cdot A\).
مثال محلول
لنفترض أن هرمًا ناقصًا مساحة قاعدته السفلية 16، ومساحة قاعدته العلوية 4، وارتفاعه 6. عندها \(\sqrt{16\cdot 4} = \sqrt{64} = 8\)، إذًا $$V = \frac{6}{3}\times(16 + 4 + 8) = 2 \times 28 = 56$$ وحدة مكعبة.
الأسئلة الشائعة
هل أُدخل أطوال الأضلاع أم المساحات؟ أدخل المساحات. فإذا كانت القاعدة مربعة طول ضلعها \(s\)، فإن مساحتها هي \(s^2\). وإذا كانت مستطيلة فإنها تساوي الطول × العرض.
ماذا لو كانت القمة نقطة؟ اجعل المساحة العلوية \(A_2\) تساوي 0 — فتعطي المعادلة عندئذٍ حجم الهرم الكامل.
هل يهمّ شكل المقطع؟ لا. ما دام الوجهان متوازيين ومتشابهين، فإن المعادلة تصلح لأي شكل متعدد الأضلاع.
