ما هو المضلع المنتظم؟
المضلع المنتظم هو شكل مغلق تتساوى فيه جميع الأضلاع في الطول وتتساوى كذلك جميع زواياه الداخلية. ومن أشهر الأمثلة عليه المثلث متساوي الأضلاع (3 أضلاع)، والمربع (4 أضلاع)، والخماسي المنتظم (5)، والسداسي المنتظم (6)، وهكذا. ولأن كل ضلع وكل زاوية متطابقة مع غيرها، فإنه يمكن استنتاج جميع قياساته الأساسية من قيمتين فقط لا غير: عدد الأضلاع \(n\) وطول الضلع \(s\).
كيفية استخدام الحاسبة
أدخل عدد الأضلاع (أي عدد صحيح يبدأ من 3 فأكثر) ثم طول أحد الأضلاع، لتعرض لك الحاسبة على الفور المساحة والمحيط ومحور التماثل (نصف القطر الداخلي، أي المسافة من المركز إلى منتصف الضلع)، ونصف القطر المحيط (المسافة من المركز إلى أحد الرؤوس)، إلى جانب الزاويتين الداخلية والخارجية.
شرح المعادلات
تعتمد المساحة على دالة ظل التمام (cotangent): $$A = \frac{1}{4}\,n\,s^2\,\cot\!\left(\frac{\pi}{n}\right)$$ وكلما ازداد عدد الأضلاع، اقترب شكل المضلع أكثر من الدائرة، وهو ما يعكسه حد ظل التمام في المعادلة. أما المحيط فيُحسب ببساطة عبر $$P = n \times s$$ ويُحسب محور التماثل من $$a = \frac{s}{2\tan\!\left(\frac{\pi}{n}\right)}$$ بينما يُحسب نصف القطر المحيط من $$R = \frac{s}{2\sin\!\left(\frac{\pi}{n}\right)}$$ وتساوي كل زاوية داخلية \(\frac{(n-2)\cdot 180}{n}\) درجة.
مثال تطبيقي
لنأخذ مضلعًا سداسيًا منتظمًا (\(n = 6\)) طول ضلعه \(s = 10\): يكون المحيط \(6 \times 10 = 60\) وحدة. وتكون المساحة $$\frac{1}{4} \times 6 \times 10^2 \times \cot\!\left(\frac{\pi}{6}\right) = 150 \times 1.7320508 \approx 259.81$$ وحدة مربعة. أما الزاوية الداخلية فتساوي \(\frac{(6-2)\cdot 180}{6} = 120°\).
الأسئلة الشائعة
ما هو الحد الأدنى لعدد الأضلاع؟ يحتاج أي مضلع إلى 3 أضلاع على الأقل، ولذلك تشترط الحاسبة أن يكون \(n \geq 3\).
ما الوحدات التي تستخدمها الحاسبة؟ الأداة محايدة تجاه الوحدات، إذ يأتي الناتج بالوحدة نفسها التي تُدخلها. فإذا كان طول الضلع بالسنتيمتر، فستكون المساحة بالسنتيمتر المربع.
هل تعمل مع المضلعات ذات الأعداد الكبيرة من الأضلاع؟ نعم. فكلما ازداد عدد الأضلاع \(n\)، اقتربت المساحة والمحيط من قيمتيهما في دائرة لها نصف القطر المحيط ذاته.
