ما هي حاسبة مساحة المضلع المنتظم؟
المضلع المنتظم هو شكل مغلق تتساوى فيه أطوال جميع الأضلاع وتتساوى كذلك جميع زواياه الداخلية — تخيّل مثلثًا متساوي الأضلاع، أو مربعًا، أو خماسيًا منتظمًا، أو سداسيًا. تحسب هذه الأداة المساحة المحصورة داخل أي مضلع من هذا النوع مباشرةً اعتمادًا على رقمين فقط: عدد أضلاعه وطول كل ضلع. كما تعرض لك بشكل إضافي طول العمود النازل على الضلع (الأبوثيم) والمحيط والزاوية الداخلية.
طريقة الاستخدام
أدخل عدد الأضلاع (\(n\))، ويجب أن يكون 3 أو أكثر، ثم طول ضلع واحد (\(s\)) بأي وحدة تختارها. تظهر النتيجة بالوحدة نفسها مربّعة؛ فمثلًا إذا أدخلت طول الضلع بالسنتيمتر، فستكون المساحة بالسنتيمتر المربّع.
شرح المعادلة
مساحة مضلع منتظم عدد أضلاعه \(n\) وطول ضلعه \(s\) تُحسب بالعلاقة:
$$A = \frac{1}{4} \, n \cdot s^{2} \cdot \cot\!\left(\frac{\pi}{n}\right)$$يمكن تقسيم المضلع إلى \(n\) مثلث متطابق متساوي الساقين تلتقي رؤوسها في المركز. قاعدة كل مثلث هي \(s\) وارتفاعه يساوي طول العمود \(a = s / (2 \cdot \tan(\pi/n))\). وبجمع مساحات هذه المثلثات نحصل على المعادلة أعلاه. تزداد قيمة ظل التمام (\(\cot\)) كلما زاد عدد أضلاع المضلع، لذا فإن زيادة عدد الأضلاع مع ثبات طول الضلع تعني مساحة أكبر.
مثال محلول
لنأخذ سداسيًا منتظمًا (\(n = 6\)) طول ضلعه 10. عندها يكون \(\cot(\pi/6) = \cot(30°) = \sqrt{3} \approx 1.7320508\). وتكون المساحة $$A = 0.25 \times 6 \times 100 \times 1.7320508 \approx 259.81 \text{ وحدة مربّعة}$$ أما طول العمود فهو \(10 / (2 \cdot \tan 30°) \approx 8.66\)، والمحيط يساوي 60، وكل زاوية داخلية تساوي 120°.
التعريفات والمسرد
- المضلع المنتظم
- شكل مستوٍ مغلق بجميع أضلاعه متساوية الطول وجميع زواياه الداخلية متساوية. تتضمن الأمثلة المثلث متساوي الأضلاع والمربع والسداسي المنتظم.
- طول الضلع (\(s\))
- الطول المشترك لكل حافة من حواف المضلع. في معادلة المساحة يظهر مرفوعاً للقوة الثانية، لذا فإن مضاعفة الضلع تجعل المساحة تتضاعف أربع مرات.
- عدد الأضلاع (\(n\))
- عدد الحواف (أو الرؤوس بالتساوي) للمضلع. يجب أن يكون عدداً صحيحاً لا يقل عن 3.
- العروة (\(a\))
- المسافة العمودية من مركز المضلع إلى منتصف أي ضلع. وهي تساوي نصف قطر الدائرة المدرجة وتُعطى بـ \(a = \tfrac{s}{2}\cot(\pi/n)\). يمكن أيضاً كتابة المساحة على الصيغة \(A = \tfrac{1}{2}\,a\,P\).
- المحيط (\(P\))
- المسافة الكلية حول المضلع، \(P = n\,s\) للمضلع المنتظم.
- الزاوية الداخلية
- الزاوية المتكونة داخل المضلع عند كل رأس بين ضلعين متجاورين، وتساوي \(\dfrac{(n-2)\,180^{\circ}}{n}\). جميع الزوايا الداخلية متساوية في المضلع المنتظم.
- الزاوية المركزية
- الزاوية المقابلة لمركز المضلع من جانب واحد، وتساوي \(\dfrac{360^{\circ}}{n}\) (أو \(2\pi/n\) راديان). يمتد كل ضلع على زاوية مركزية واحدة، وتشكل الـ \(n\) زوايا مركزية معاً دورة كاملة.
- ظل التمام (\(\cot\))
- دالة مثلثية، \(\cot(x) = \dfrac{\cos(x)}{\sin(x)} = \dfrac{1}{\tan(x)}\). في الصيغة \(\cot(\pi/n)\) يحول نصف الزاوية المركزية لشريحة مثلثية واحدة إلى النسبة التي تحدد ارتفاع المضلع بالنسبة إلى ضلعه، مما يعطي العروة والمساحة.
الأسئلة الشائعة
هل تصلح هذه الحاسبة للمثلثات والمربّعات؟ نعم. المضلع ذو الأضلاع الثلاثة هو مثلث متساوي الأضلاع، والمضلع ذو الأضلاع الأربعة هو مربع — والمعادلة تتعامل مع كليهما.
ما الوحدة التي تظهر بها المساحة؟ الوحدة نفسها التي استخدمتها لطول الضلع، لكن مربّعة. فالحاسبة لا ترتبط بوحدة قياس بعينها.
هل يمكنني استخدامها للأشكال غير المنتظمة؟ لا. تنطبق هذه المعادلة فقط عندما تتساوى جميع الأضلاع والزوايا. أما المضلعات غير المنتظمة فتحتاج إلى طريقة مختلفة مثل صيغة الحذاء (Shoelace).
