Düzgün Çokgen Alan Hesaplama Aracı Nedir?
Düzgün çokgen, tüm kenarları eşit uzunlukta ve tüm iç açıları eşit olan kapalı bir şekildir; eşkenar üçgen, kare, düzgün beşgen ya da altıgen bunun en bilinen örnekleridir. Bu hesaplama aracı, herhangi bir düzgün çokgenin kapladığı alanı yalnızca iki değerden yola çıkarak bulur: kaç kenarı olduğu ve her bir kenarın uzunluğu. Ayrıca size ek olarak apotemi, çevreyi ve iç açıyı da verir.
Nasıl Kullanılır?
Kenar sayısını (\(n\)) girin — bu değer en az 3 olmalıdır — ve bir kenarın uzunluğunu (\(s\)) dilediğiniz birimde yazın. Sonuç, aynı birimin karesi cinsinden döner. Örneğin kenar uzunluğunu santimetre olarak girdiyseniz, alan santimetrekare olarak çıkar.
Formülün Açıklaması
Kenar uzunluğu \(s\) olan \(n\) kenarlı düzgün bir çokgenin alanı şöyledir:
$$A = \frac{1}{4} \, n \cdot s^{2} \cdot \cot\!\left(\frac{\pi}{n}\right)$$
Çokgen, merkezde birleşen \(n\) adet özdeş ikizkenar üçgene bölünebilir. Her üçgenin tabanı \(s\), yüksekliği ise apotem \(a = s / (2 \cdot \tan(\pi/n))\) değerine eşittir. Bu üçgenlerin alanlarını toplayınca yukarıdaki formül elde edilir. Kotanjant terimi çokgenin kenar sayısı arttıkça büyür; yani sabit bir kenar uzunluğunda daha fazla kenar, daha fazla alan demektir.
Çözümlü Örnek
Kenar uzunluğu 10 olan düzgün bir altıgeni (\(n = 6\)) ele alalım. Bu durumda \(\cot(\pi/6) = \cot(30°) = \sqrt{3} \approx 1{,}7320508\) olur. Alan $$A = 0{,}25 \times 6 \times 100 \times 1{,}7320508 \approx 259{,}81 \text{ birimkare}$$'dir. Apotem \(10 / (2 \cdot \tan 30°) \approx 8{,}66\), çevre 60 ve her bir iç açı 120°'dir.
Tanımlar & Sözlük
- Düzgün çokgen
- Tüm kenarları eşit uzunlukta ve tüm iç açıları eşit olan kapalı düzlem şekli. Örnekler arasında eşkenar üçgen, kare ve düzgün altıgen yer alır.
- Kenar uzunluğu (\(s\))
- Çokgenin her kenarının ortak uzunluğu. Alan formülünde kare alınır, bu nedenle kenarı iki katına çıkarmak alanı dört katına çıkarır.
- Kenar sayısı (\(n\))
- Çokgenin kenar sayısı (eşdeğer olarak, köşe sayısı). En az 3 olan bir tam sayı olmalıdır.
- Apotemi (\(a\))
- Çokgenin merkezi ile herhangi bir kenarının orta noktası arasındaki dik mesafe. İçinde yazılı dairenin yarıçapına eşittir ve \(a = \tfrac{s}{2}\cot(\pi/n)\) ile verilir. Alan ayrıca \(A = \tfrac{1}{2}\,a\,P\) olarak da yazılabilir.
- Çevre (\(P\))
- Çokgenin etrafındaki toplam mesafe, düzgün çokgen için \(P = n\,s\) dir.
- İç açı
- Çokgenin her bir köşesinde iki komşu kenar arasında oluşan açı, \(\dfrac{(n-2)\,180^{\circ}}{n}\) değerine eşittir. Düzgün çokgende tüm iç açılar eşittir.
- Merkez açısı
- Çokgenin merkezinde bir kenar tarafından oluşturulan açı, \(\dfrac{360^{\circ}}{n}\) (veya \(2\pi/n\) radyan) değerine eşittir. Her bir kenar bir merkez açısını kapsar ve \(n\) merkez açısı birlikte tam bir dönüşü yapar.
- Kotanjant (\(\cot\))
- Trigonometrik bir fonksiyon, \(\cot(x) = \dfrac{\cos(x)}{\sin(x)} = \dfrac{1}{\tan(x)}\) dır. \(\cot(\pi/n)\) formülünde bir üçgensel dilimin yarı-merkez-açısını, çokgenin kenarına göre yüksekliğini belirleyen oranına dönüştürerek apotemi ve alanı verir.
Sıkça Sorulan Sorular
Üçgenler ve kareler için de çalışır mı? Evet. 3 kenarlı bir çokgen eşkenar üçgen, 4 kenarlı bir çokgen ise karedir; formül her ikisini de kapsar.
Alan hangi birimde çıkar? Kenar uzunluğu için hangi birimi kullandıysanız, onun karesi cinsinden. Hesaplama aracı birimden bağımsızdır.
Düzensiz şekillerde kullanabilir miyim? Hayır. Bu formül yalnızca tüm kenarların ve açıların eşit olduğu durumlarda geçerlidir. Düzensiz çokgenler için ayakkabı bağı (shoelace) formülü gibi farklı bir yöntem gerekir.
