Düzensiz Çokgen Alan Hesaplama Aracı nedir?
Bu araç, herhangi bir basit (kendisiyle kesişmeyen) çokgenin — düzgün ya da düzensiz fark etmeksizin — alanını doğrudan köşe noktalarının koordinatlarından hesaplar. Bunun için Ayakkabı Bağı formülünü (kadastro formülü ya da Gauss alan formülü olarak da bilinir) kullanır. Bu formül; üçgen, dörtgen, beşgen ve en az üç köşesi olan her çokgen için çalışan, hızlı ve kesin bir yöntemdir. Ayrıca girdiğiniz köşe sayısını ve çevre uzunluğunu da gösterir.
Nasıl kullanılır?
Her köşenin (x, y) koordinatını ayrı bir satıra, x,y biçiminde yazın. Çokgenin etrafında saat yönünde ya da saat yönünün tersinde sırayla ilerleyin; böylece ardışık satırlar komşu köşeleri temsil etsin. Sonda ilk noktayı tekrar yazmanıza gerek yok — hesap aracı döngüyü otomatik olarak kapatır. Hesapla'ya basın ve kapalı alanın değerini birim kare cinsinden görün.
Formülün açıklaması
Ayakkabı Bağı formülü, her köşenin x değerini bir sonraki köşenin y değeriyle çarpar, ters çapraz çarpımı çıkarır, tüm kenarlar boyunca toplar, mutlak değerini alır ve yarıya böler: $$A = \frac{1}{2}\left| \sum_{i=1}^{n} \left( x_i\, y_{i+1} - x_{i+1}\, y_i \right) \right| \qquad \left( x_i, y_i \right) \in \text{Vertex Coordinates}$$ Adı, çarpımların oluşturduğu çapraz desenin ayakkabı bağcığı örmeye benzemesinden gelir. Mutlak değer alındığı için sonuç, köşeleri hangi yönde sıraladığınızdan bağımsız olarak doğru çıkar.
Örnek çözüm
Köşeleri (0,0), (4,0), (4,3), (0,3) olan bir dikdörtgeni ele alalım. Çapraz çarpımlar şöyle olur: \(0\cdot 0 - 4\cdot 0 = 0\), \(4\cdot 3 - 4\cdot 0 = 12\), \(4\cdot 3 - 0\cdot 3 = 12\), \(0\cdot 0 - 0\cdot 3 = 0\). Toplam $$= 24,$$ dolayısıyla $$A = \tfrac{1}{2}\cdot|24| = \textbf{12 birim kare}$$ — tam olarak taban \(\times\) yükseklik \(= 4 \times 3\).
Sık sorulan sorular
Köşelerin sıralı olması şart mı? Evet. Formül, ardışık noktaların çokgenin kenarlarını oluşturduğunu varsayar. Sırasız girilen noktalar kendisiyle kesişen bir şekil ve yanlış bir alan üretir.
Yön önemli mi? Hayır. Saat yönü ham toplamı negatif, saat yönünün tersi pozitif verir; ancak mutlak değer sayesinde alan her iki durumda da aynı çıkar.
İçbükey çokgenler için durum nedir? Kenarlar birbirini kesmediği sürece, Ayakkabı Bağı formülü içbükey (dışbükey olmayan) çokgenlerde de kusursuz çalışır.
