¿Qué es la calculadora de área de polígonos irregulares?
Esta herramienta calcula el área de cualquier polígono simple (es decir, que no se cruza a sí mismo) — regular o irregular — directamente a partir de las coordenadas de sus vértices. Se basa en la fórmula del zapatero (también conocida como fórmula del agrimensor o fórmula de Gauss), un método rápido y exacto que sirve para triángulos, cuadriláteros, pentágonos y cualquier polígono de tres o más vértices. Además, te indica el perímetro y la cantidad de vértices que has introducido.
Cómo usarla
Escribe la coordenada (x, y) de cada vértice, una por línea, con el formato x,y. Recorre el polígono en orden — en el sentido de las agujas del reloj o en sentido contrario — de modo que las líneas consecutivas correspondan a vértices contiguos. No hace falta repetir el primer punto al final: la calculadora cierra el contorno automáticamente. Pulsa calcular y obtendrás el área encerrada en unidades cuadradas.
La fórmula explicada
La fórmula del zapatero multiplica la x de cada vértice por la y del vértice siguiente, le resta el producto cruzado inverso, suma el resultado a lo largo de todas las aristas, toma el valor absoluto y lo divide entre dos: $$A = \frac{1}{2}\left| \sum_{i=1}^{n} \left( x_i\, y_{i+1} - x_{i+1}\, y_i \right) \right| \qquad \left( x_i, y_i \right) \in \text{Vertex Coordinates}$$ El nombre viene del patrón de multiplicaciones cruzadas, parecido al cordón de un zapato. Gracias al valor absoluto, el resultado es correcto sin importar el sentido de giro.
Ejemplo resuelto
Imagina un rectángulo con vértices en (0,0), (4,0), (4,3), (0,3). Los productos cruzados dan \(0\cdot 0 - 4\cdot 0 = 0\), \(4\cdot 3 - 4\cdot 0 = 12\), \(4\cdot 3 - 0\cdot 3 = 12\) y \(0\cdot 0 - 0\cdot 3 = 0\). La suma es 24, por lo que $$A = \tfrac{1}{2}\cdot|24| = 12 \text{ unidades cuadradas}$$ — exactamente base × altura = \(4 \times 3\).
Preguntas frecuentes
¿Los vértices tienen que estar en orden? Sí. La fórmula da por hecho que los puntos consecutivos forman las aristas del polígono. Si los introduces desordenados, obtendrás una figura que se cruza a sí misma y un área incorrecta.
¿Importa el sentido de giro? No. En sentido horario la suma sin procesar sale negativa y en sentido antihorario positiva, pero el valor absoluto hace que el área sea idéntica en ambos casos.
¿Y los polígonos cóncavos? La fórmula del zapatero funciona a la perfección con polígonos cóncavos (no convexos), siempre que las aristas no se crucen entre sí.
