Qu'est-ce que le calculateur d'aire d'un polygone irrégulier ?
Cet outil calcule l'aire de tout polygone simple (sans côtés qui se croisent) — régulier ou irrégulier — directement à partir des coordonnées de ses sommets. Il s'appuie sur la formule du lacet (aussi appelée formule de l'arpenteur ou formule de l'aire de Gauss), une méthode rapide et exacte qui fonctionne pour les triangles, les quadrilatères, les pentagones et tout polygone comptant au moins trois sommets. Il indique également le périmètre et le nombre de sommets que vous avez saisis.
Comment l'utiliser
Indiquez la coordonnée (x, y) de chaque sommet, une par ligne, sous la forme x,y. Parcourez le polygone dans l'ordre — dans le sens des aiguilles d'une montre ou dans le sens inverse — afin que deux lignes consécutives correspondent à des sommets adjacents. Inutile de répéter le premier point à la fin : le calculateur referme automatiquement le contour. Cliquez sur « Calculer » pour obtenir l'aire délimitée, exprimée en unités carrées.
La formule expliquée
La formule du lacet multiplie l'abscisse x de chaque sommet par l'ordonnée y du sommet suivant, retranche le produit croisé inverse, additionne le tout sur l'ensemble des côtés, prend la valeur absolue puis la divise par deux : $$A = \frac{1}{2}\left| \sum_{i=1}^{n} \left( x_i\, y_{i+1} - x_{i+1}\, y_i \right) \right| \qquad \left( x_i, y_i \right) \in \text{Vertex Coordinates}$$ Son nom vient du motif d'entrecroisement des multiplications, semblable au laçage d'une chaussure. La valeur absolue garantit un résultat correct quel que soit le sens de parcours.
Exemple résolu
Prenons un rectangle dont les sommets sont (0,0), (4,0), (4,3) et (0,3). Les produits croisés donnent \(0\cdot 0 - 4\cdot 0 = 0\), puis \(4\cdot 3 - 4\cdot 0 = 12\), puis \(4\cdot 3 - 0\cdot 3 = 12\), et enfin \(0\cdot 0 - 0\cdot 3 = 0\). La somme vaut 24, d'où $$A = \tfrac{1}{2}\cdot|24| = 12 \text{ unités carrées}$$ — soit exactement base × hauteur = \(4 \times 3\).
Questions fréquentes
Les sommets doivent-ils être dans l'ordre ? Oui. La formule suppose que les points consécutifs forment les côtés du polygone. Des points placés dans le désordre créent une figure qui se recoupe et donnent une aire erronée.
Le sens de parcours a-t-il une importance ? Non. Le sens horaire produit une somme brute négative, le sens antihoraire une somme positive, mais la valeur absolue rend l'aire identique dans les deux cas.
Et pour les polygones concaves ? La formule du lacet traite parfaitement les polygones concaves (non convexes), tant que les côtés ne se croisent pas entre eux.
