Что это за калькулятор площади неправильного многоугольника?
Этот инструмент вычисляет площадь любого простого (несамопересекающегося) многоугольника — как правильного, так и неправильного — прямо по координатам его углов. В основе лежит формула шнурков (её также называют формулой землемера или формулой площади Гаусса) — быстрый и точный метод, который подходит для треугольников, четырёхугольников, пятиугольников и любой фигуры с тремя и более вершинами. Дополнительно калькулятор показывает периметр и количество введённых вершин.
Как пользоваться
Укажите координаты (x, y) каждого угла — по одной паре в строке, в формате x,y. Обходите многоугольник по порядку — по часовой стрелке или против — так, чтобы соседние строки соответствовали соседним вершинам. Повторять первую точку в конце не нужно: калькулятор сам замкнёт контур. Нажмите «Рассчитать» и получите площадь в квадратных единицах.
Разбор формулы
Формула шнурков умножает координату x каждой вершины на координату y следующей вершины, вычитает обратное произведение, суммирует результат по всем сторонам, берёт модуль и делит пополам: $$A = \frac{1}{2}\left| \sum_{i=1}^{n} \left( x_i\, y_{i+1} - x_{i+1}\, y_i \right) \right| \qquad \left( x_i, y_i \right) \in \text{Vertex Coordinates}$$ Название появилось из-за «перекрёстного» рисунка умножений, напоминающего шнуровку ботинка. Благодаря модулю ответ получается верным независимо от направления обхода.
Пример с расчётом
Возьмём прямоугольник с углами (0,0), (4,0), (4,3), (0,3). Перекрёстные произведения дают: \(0\cdot 0 - 4\cdot 0 = 0\), \(4\cdot 3 - 4\cdot 0 = 12\), \(4\cdot 3 - 0\cdot 3 = 12\), \(0\cdot 0 - 0\cdot 3 = 0\). Сумма = 24, значит $$A = \tfrac{1}{2}\cdot|24| = 12 \text{ квадратных единиц}$$ — ровно основание × высоту = \(4 \times 3\).
Частые вопросы
Нужно ли указывать вершины по порядку? Да. Формула считает, что соседние точки образуют стороны многоугольника. Если перепутать порядок, получится самопересекающаяся фигура и неверная площадь.
Важно ли направление обхода? Нет. По часовой стрелке исходная сумма выйдет отрицательной, против — положительной, но модуль делает площадь одинаковой в обоих случаях.
А как быть с вогнутыми многоугольниками? Формула шнурков отлично работает с вогнутыми (невыпуклыми) многоугольниками — главное, чтобы стороны не пересекались между собой.
