부정형 다각형 넓이 계산기

계산 입력

꼭짓점 좌표 (한 줄에 x,y 하나씩, 순서대로) 0,0 4,0 4,3 0,3 Enter each vertex on its own line as x,y — list them in order (clockwise or counter-clockwise) around the polygon.

결과

다각형 넓이

12

제곱 단위

꼭짓점 개수	4
둘레	14 units

부정형 다각형 넓이 계산기란?

이 도구는 꼭짓점 좌표만으로 단순 다각형(변이 서로 교차하지 않는 다각형)의 넓이를 정형·부정형 구분 없이 계산해 줍니다. 사용하는 방식은 신발끈 공식(측량사 공식 또는 가우스 넓이 공식이라고도 부릅니다)으로, 삼각형·사각형·오각형은 물론 꼭짓점이 3개 이상인 어떤 다각형에도 적용되는 빠르고 정확한 방법입니다. 입력한 꼭짓점의 개수와 다각형의 둘레까지 함께 알려 줍니다.

사용 방법

각 꼭짓점의 (x, y) 좌표를 한 줄에 하나씩 x,y 형식으로 입력하세요. 다각형을 따라 시계 방향이든 반시계 방향이든 순서대로 돌면서 입력해, 연속된 두 줄이 서로 이웃한 꼭짓점이 되도록 하면 됩니다. 마지막에 첫 번째 점을 다시 적을 필요는 없습니다. 계산기가 자동으로 도형을 닫아 줍니다. 계산 버튼을 누르면 둘러싸인 넓이가 제곱 단위로 표시됩니다.

공식 자세히 보기

신발끈 공식은 각 꼭짓점의 x값에 다음 꼭짓점의 y값을 곱하고, 반대 방향의 곱을 뺀 뒤, 모든 변에 대해 더하고 절댓값을 취한 다음 2로 나눕니다:

$$A = \frac{1}{2}\left| \sum_{i=1}^{n} \left( x_i\, y_{i+1} - x_{i+1}\, y_i \right) \right| \qquad \left( x_i, y_i \right) \in \text{Vertex Coordinates}$$

이 곱셈이 신발 끈을 엮듯 X자로 엇갈리는 모양이라서 '신발끈 공식'이라는 이름이 붙었습니다. 절댓값을 사용하므로 좌표를 어느 방향으로 입력하든 결과는 항상 올바르게 나옵니다.

신발끈 공식은 이웃한 꼭짓점의 x 좌표와 y 좌표를 교차해 곱합니다.

다각형의 각 꼭짓점은 (x, y) 좌표로 정의됩니다.

예제 풀이

꼭짓점이 (0,0), (4,0), (4,3), (0,3)인 직사각형을 생각해 봅시다. 엇갈림 곱을 차례로 구하면 \(0\cdot 0 - 4\cdot 0 = 0\), \(4\cdot 3 - 4\cdot 0 = 12\), \(4\cdot 3 - 0\cdot 3 = 12\), \(0\cdot 0 - 0\cdot 3 = 0\) 입니다. 합은 24이므로 $$A = \tfrac{1}{2}\cdot |24| = \textbf{12 제곱 단위}$$가 되며, 이는 밑변 × 높이 = \(4 \times 3\) 과 정확히 일치합니다.

자주 묻는 질문

꼭짓점을 순서대로 입력해야 하나요? 네. 이 공식은 연속된 점들이 다각형의 변을 이룬다고 가정합니다. 순서가 뒤죽박죽이면 변이 서로 교차하는 도형이 되어 잘못된 넓이가 나옵니다.

입력 방향이 결과에 영향을 주나요? 아니요. 시계 방향으로 입력하면 계산 도중 합이 음수, 반시계 방향이면 양수가 되지만, 절댓값을 취하기 때문에 넓이는 어느 쪽이든 동일합니다.

오목한 다각형도 계산되나요? 변끼리 교차하지만 않으면 신발끈 공식은 오목(비볼록) 다각형도 완벽하게 처리합니다.