유한소수란?
유한소수는 소수점 아래 자릿수가 유한한 소수를 말합니다. 예를 들어 0.75나 0.125가 여기에 해당하죠. 반면 순환소수(무한소수)는 0.3333…이나 0.142857142857…처럼 특정 숫자 묶음이 끝없이 반복됩니다. 이 계산기는 임의의 분수 a/b를 입력받아 소수 값을 계산하고, 그 결과가 유한소수인지 순환소수인지 알려줍니다.
사용 방법
분자(위쪽 숫자 a)와 분모(아래쪽 숫자 b)를 입력하세요. 계산기가 분수를 기약분수로 약분하고 소수로 변환한 뒤, 유한소수 여부를 판정합니다. 단, 분모는 0이 될 수 없습니다.
판별 원리
먼저 분자와 분모를 최대공약수(GCD)로 나누어 기약분수로 만듭니다. 그런 다음 새로 정리된 분모만 살펴보면 됩니다. 기약분수가 유한소수가 되는 조건은 오직 분모의 소인수가 2와 5뿐일 때입니다. 즉, 분모를 \(2^{m} \times 5^{n}\) 꼴로 나타낼 수 있어야 하죠. 분모에 3, 7, 11과 같은 다른 소인수가 하나라도 섞여 있으면 그 소수는 반드시 순환합니다.
$$\frac{\text{분자 }a}{\text{분모 }b} \text{ 유한소수} \iff \frac{b}{\gcd(a,b)} = 2^{m}\cdot 5^{n}$$
예제로 살펴보기
3/8을 예로 들어 봅시다. 3과 8의 최대공약수는 1이라 이미 기약분수입니다. 분모 \(8 = 2^{3}\)로 소인수가 2뿐이므로 3/8은 유한소수입니다. 실제로 $$3 \div 8 = 0.375$$ 가 되죠. 반대로 1/6은 그대로 1/6인데, \(6 = 2 \times 3\)에 소인수 3이 포함되어 있어 유한소수가 아닙니다. 이 값은 0.1666…이 됩니다.
자주 묻는 질문
분자가 유한소수 여부에 영향을 주나요? 아닙니다. 결과를 결정하는 건 기약분수로 만든 뒤 분모의 소인수뿐입니다. 다만 분자가 최대공약수를 바꿀 수 있어, 결과적으로 약분된 분모에 영향을 줄 수는 있습니다.
모든 분수는 유한소수 아니면 순환소수인가요? 네, 맞습니다. 모든 유리수의 소수 전개는 유한하게 끝나거나 결국 반복되는 두 가지 중 하나입니다.
10/4는 어떻게 되나요? 5/2로 약분됩니다. 분모 2의 소인수가 2뿐이므로 유한소수이며, 값은 2.5입니다.
