有限小數計算機

輸入計算

分子 (a)

分母 (b)

結果

小數值

0.375

This is a terminating decimal

最簡分數	3 / 8
是否為有限小數？	Yes
化簡後分子	3
化簡後分母	8

什麼是有限小數？

有限小數是指小數點後位數有限的數字，例如 0.75 或 0.125。相對地，循環（無限）小數則會永無止境地重複某一段數字，例如 0.3333… 或 0.142857142857…。這個計算機可以接受任何分數 a/b，算出它的小數值，並告訴你這個小數究竟是有限的還是會循環下去。

如何使用

輸入分子（上方的數字 a）與分母（下方的數字 b）。工具會先把分數化簡為最簡分數，計算出小數值，並判斷它是否為有限小數。請注意分母不能為零。

判斷規則說明

首先，將分子與分母同除以它們的最大公因數（GCD），把分數化為最簡分數。接著只需觀察化簡後的分母即可。一個最簡分數會得到有限小數，當且僅當它的分母的質因數只有 2 和 5。換句話說，分母必須能寫成下列形式：

$$\frac{\text{Numerator }a}{\text{Denominator }b} \text{ terminates} \iff \frac{b}{\gcd(a,b)} = 2^{m}\cdot 5^{n}$$

只要含有其他質因數（例如 3、7、11…），這個小數就一定會循環。

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最簡分數僅當分母可分解為2與5的因數時才是有限小數。

實例演算

以 3/8 為例。3 和 8 的最大公因數是 1，所以它已經是最簡分數。分母 \(8 = 2^3\)，只含質因數 2，因此 3/8 是有限小數：

$$3 \div 8 = 0.375$$

相對地，1/6 化簡後仍是 1/6；由於 \(6 = 2 \times 3\) 含有質因數 3，所以它不會終止——其值為 0.1666…。

當分母的質因數只有2與5時，小數為有限小數。

常見問題

分子會影響是否為有限小數嗎？不會。真正關鍵的只有化簡後分母的質因數；不過分子會影響最大公因數，進而改變化簡後的分母。

每個分數都不是有限小數就是循環小數嗎？是的。任何有理數的小數展開不是有限位數，就是最終會進入循環。

那麼 10/4 呢？它化簡後是 5/2；分母 2 只含質因數 2，所以是有限小數：2.5。