Qu'est-ce qu'une décimale finie ?
Une décimale finie est un nombre décimal qui ne compte qu'un nombre limité de chiffres après la virgule — par exemple 0,75 ou 0,125. À l'inverse, une décimale périodique (ou illimitée) se prolonge indéfiniment avec un motif qui se répète, comme 0,3333… ou 0,142857142857…. Ce calculateur prend n'importe quelle fraction a/b, calcule sa valeur décimale et vous indique si celle-ci est finie ou périodique.
Comment l'utiliser
Saisissez le numérateur (le nombre du haut, a) et le dénominateur (le nombre du bas, b). L'outil réduit la fraction à sa plus simple expression, évalue la décimale et vous dit si elle se termine. Le dénominateur ne peut pas être égal à zéro.
La règle expliquée
Commencez par réduire la fraction à sa plus simple expression en divisant les deux nombres par leur plus grand commun diviseur (PGCD). Concentrez-vous ensuite uniquement sur le nouveau dénominateur. Une fraction réduite donne une décimale finie si et seulement si les seuls facteurs premiers de son dénominateur sont 2 et 5. Autrement dit, le dénominateur doit pouvoir s'écrire sous la forme \(2^{m}\times 5^{n}\). Tout autre facteur premier (3, 7, 11, …) rend la décimale périodique.
$$\frac{\text{Numérateur }a}{\text{Dénominateur }b} \text{ termine} \iff \frac{b}{\gcd(a,b)} = 2^{m}\cdot 5^{n}$$
Exemple résolu
Prenons 3/8. Le PGCD de 3 et 8 vaut 1 : la fraction est donc déjà réduite. Le dénominateur \(8 = 2^3\) ne possède que le facteur premier 2, si bien que 3/8 se termine :
$$3 \div 8 = 0{,}375$$En revanche, 1/6 reste 1/6 ; comme \(6 = 2 \times 3\) contient le facteur premier 3, cette fraction ne se termine pas — elle vaut 0,1666….
FAQ
Le numérateur influence-t-il le fait que la décimale se termine ? Non. Seuls comptent les facteurs premiers du dénominateur réduit, même si le numérateur peut modifier le PGCD et, par conséquent, le dénominateur réduit.
Toute fraction est-elle soit finie, soit périodique ? Oui. Tout nombre rationnel possède un développement décimal qui se termine ou qui finit par devenir périodique.
Et pour 10/4 ? Elle se réduit en 5/2 ; le dénominateur 2 n'a que le facteur 2, donc la décimale se termine : 2,5.
