Qu'est-ce que la loi inverse du khi-deux ?
La loi inverse du khi-deux à ν (nu) degrés de liberté est la loi de \(Y = 1/X\), où \(X\) suit une loi du khi-deux standard à ν degrés de liberté. Très utilisée en statistique bayésienne comme loi a priori conjuguée pour la variance d'une loi normale, elle intervient aussi dans les modèles de fiabilité et de traitement du signal. Ce calculateur repose uniquement sur les mathématiques : il s'applique donc à l'identique partout, sans aucune règle régionale.
Comment utiliser ce calculateur
Saisissez le point (percentile) x (tout réel strictement positif) et les degrés de liberté ν (toute valeur strictement positive ; généralement un entier positif). L'outil renvoie trois grandeurs : la densité de probabilité \(f(x)\), la probabilité cumulée inférieure \(P = P(X \le x)\) et la probabilité cumulée supérieure \(Q = P(X > x)\). Comme \(P\) et \(Q\) décrivent l'ensemble de la loi, leur somme vaut toujours 1.
La formule expliquée
La densité s'écrit $$f(x) = \frac{2^{-\nu/2}}{\Gamma\!\left(\frac{\nu}{2}\right)}\, x^{-\frac{\nu}{2}-1}\, e^{-\frac{1}{2x}}$$ pour \(x > 0\). Pour garantir la stabilité numérique, nous la calculons dans l'espace logarithmique à l'aide de la fonction log-gamma. Les probabilités cumulées exploitent le lien par l'inverse avec la loi du khi-deux : en posant \(s = \nu/2\) et \(z = 1/(2x)\), la probabilité cumulée inférieure est égale à la fonction gamma incomplète supérieure régularisée \(Q(s, z)\), et la probabilité cumulée supérieure à la fonction gamma incomplète inférieure régularisée \(P(s, z)\). Elles sont évaluées par un développement en série pour les petites valeurs de \(z\) et par une méthode de fraction continue (algorithme de Lentz) pour les grandes valeurs de \(z\).
Exemple concret
Prenons \(x = 1\) et \(\nu = 1\). On a alors \(s = 0{,}5\) et \(z = 0{,}5\). La densité vaut \(f(1) \approx 0{,}241971\). La probabilité cumulée inférieure est \(P \approx 0{,}317311\) et la probabilité cumulée supérieure \(Q \approx 0{,}682689\), dont la somme fait bien 1.
FAQ
Pourquoi x doit-il être strictement supérieur à 0 ? Le support de la loi est \(x > 0\). Pour \(x \le 0\), la densité est nulle ; toute la masse de probabilité se situe au-dessus, si bien que la probabilité inférieure vaut 0 et la supérieure 1.
ν doit-il être un entier ? Non. La formule s'appuie sur la fonction gamma : toute valeur réelle \(\nu > 0\) convient, même si les degrés de liberté sont le plus souvent des entiers positifs.
S'agit-il de la loi inverse du khi-deux mise à l'échelle ? Non. Il s'agit de la loi inverse du khi-deux standard (non mise à l'échelle), qui correspond à l'inverse d'une variable du khi-deux.
