Qu'est-ce que la loi du khi-deux ?
La loi du khi-deux (chi², ou χ²) décrit la somme des carrés de variables normales centrées réduites indépendantes. Elle ne dépend que d'un seul paramètre, le nombre de degrés de liberté ν (lettre grecque « nu »), et joue un rôle central dans les tests d'hypothèses, les tests d'adéquation, l'analyse des tableaux de contingence et les intervalles de confiance pour une variance. Ce calculateur évalue trois fonctions liées en un point \(x\), pour un \(\nu\) donné : la densité de probabilité \(f\), la probabilité cumulée inférieure \(P(X \le x)\) et la probabilité cumulée supérieure \(Q(X > x)\).
Comment l'utiliser
Choisissez la fonction que vous souhaitez afficher comme résultat principal, saisissez le nombre de degrés de liberté \(\nu\) (toute valeur strictement supérieure à 0) et le point \(x\) où effectuer le calcul. La valeur initiale de \(x\), le pas et le nombre de points définissent une série \(x_k = \text{startX} + k\cdot\text{stepX}\), utilisée pour construire un tableau ou un graphique de la fonction choisie. Toutes les entrées sont sans dimension : aucune conversion d'unité n'est nécessaire.
La formule expliquée
La densité s'écrit $$f(\text{x};\,\nu) = \frac{\text{x}^{\,\frac{\nu}{2}-1}\,e^{-\frac{\text{x}}{2}}}{2^{\frac{\nu}{2}}\,\Gamma\!\left(\frac{\nu}{2}\right)}$$ pour \(x \ge 0\). Les probabilités cumulées font appel à la fonction gamma incomplète régularisée : \(P(x,\nu)\) est égale à la fonction gamma incomplète inférieure de \((\nu/2, x/2)\) divisée par \(\Gamma(\nu/2)\), et \(Q = 1 - P\). $$F(\text{x};\,\nu) = P\!\left(\frac{\nu}{2},\,\frac{\text{x}}{2}\right) = \frac{\gamma\!\left(\frac{\nu}{2},\,\frac{\text{x}}{2}\right)}{\Gamma\!\left(\frac{\nu}{2}\right)}$$ $$Q(\text{x};\,\nu) = 1 - P\!\left(\frac{\nu}{2},\,\frac{\text{x}}{2}\right) = \frac{\Gamma\!\left(\frac{\nu}{2},\,\frac{\text{x}}{2}\right)}{\Gamma\!\left(\frac{\nu}{2}\right)}$$ Tous les calculs se font en espace logarithmique, à l'aide d'un développement en série ou d'une fraction continue (algorithme de Lentz) pour la gamma incomplète : la méthode est exacte et évite tout dépassement de capacité.
Exemple détaillé
Pour \(\nu = 3\) et \(x = 2\) : \(a = \nu/2 = 1{,}5\) et \(z = x/2 = 1\). La probabilité cumulée inférieure \(P(2,3)\) vaut environ 0,42759, d'où \(Q\) d'environ 0,57241. La densité donne $$f(2,3) = \frac{2^{0{,}5} \cdot e^{-1}}{2^{1{,}5} \cdot \Gamma(1{,}5)} \approx 0{,}20755.$$
FAQ
Pourquoi f est-elle infinie en x = 0 pour de petites valeurs de ν ? Lorsque \(\nu < 2\), la densité diverge vers l'infini en \(x = 0\) ; pour \(\nu = 2\) elle vaut 0,5 ; et pour \(\nu > 2\) elle y est nulle.
Comment trouver une valeur critique ? Réglez la fonction sur la probabilité cumulée inférieure \(P\) et testez différentes valeurs de \(x\) jusqu'à atteindre votre objectif (par exemple, \(P = 0{,}95\) avec \(\nu = 1\) donne \(x \approx 3{,}8415\)).
La probabilité cumulée est-elle exacte ? Oui : elle repose sur la forme close de la fonction gamma incomplète plutôt que sur une intégration numérique, ce qui garantit une précision proche de celle de la machine.
