什麼是卡方分布？
卡方分布（chi^2 distribution）描述的是多個獨立標準常態變數平方後的總和。它只由單一參數決定，也就是自由度 \(\nu\)（希臘字母「nu」）。在統計上，卡方分布是假設檢定、適配度檢定（goodness-of-fit）、列聯表分析，以及變異數信賴區間的核心工具。本計算器會針對你選定的 \(\nu\)，在指定的 \(x\) 上算出三個彼此相關的函數值：機率密度 \(f\)、下累積機率 \(P(X \le x)\)，以及上累積機率 \(Q(X > x)\)。
如何使用
先選擇你想作為主要顯示值的函數，接著填入自由度 \(\nu\)（任何大於 0 的數值），以及要計算的點 \(x\)。「x 的起始值」、「增量」與「點數」三項則用來建立數列 \(x_k = \text{startX} + k\cdot\text{stepX}\)，方便產生所選函數的表格或圖形。所有輸入皆為無因次數值，因此不需要做任何單位換算。
公式說明
當 \(x \ge 0\) 時，機率密度為 $$f(\text{x};\,\nu) = \frac{\text{x}^{\,\frac{\nu}{2}-1}\,e^{-\frac{\text{x}}{2}}}{2^{\frac{\nu}{2}}\,\Gamma\!\left(\frac{\nu}{2}\right)}$$。累積機率則使用正則化不完全 Gamma 函數計算：$$F(\text{x};\,\nu) = P\!\left(\frac{\nu}{2},\,\frac{\text{x}}{2}\right) = \frac{\gamma\!\left(\frac{\nu}{2},\,\frac{\text{x}}{2}\right)}{\Gamma\!\left(\frac{\nu}{2}\right)}$$ 即 \(P(x,\nu)\) 等於 \((\nu/2, x/2)\) 的下不完全 Gamma 除以 \(\Gamma(\nu/2)\)，而 $$Q(\text{x};\,\nu) = 1 - P\!\left(\frac{\nu}{2},\,\frac{\text{x}}{2}\right) = \frac{\Gamma\!\left(\frac{\nu}{2},\,\frac{\text{x}}{2}\right)}{\Gamma\!\left(\frac{\nu}{2}\right)}$$。本計算器全程在對數空間運算，並針對不完全 Gamma 函數採用級數展開或連分數法（Lentz 演算法），結果精確且能避免數值溢位。
實例演算
以 \(\nu = 3\)、\(x = 2\) 為例：\(a = \nu/2 = 1.5\)，\(z = x/2 = 1\)。下累積機率 \(P(2,3)\) 約為 \(0.42759\)，因此 \(Q\) 約為 \(0.57241\)。機率密度則為 $$f(2,3) = \frac{2^{0.5} \cdot e^{-1}}{2^{1.5} \cdot \Gamma(1.5)} \approx 0.20755$$。
常見問題
為什麼在 \(\nu\) 較小時，\(x = 0\) 處的 \(f\) 會是無限大？ 當 \(\nu < 2\) 時，密度在 \(x = 0\) 處會發散至無限大；當 \(\nu = 2\) 時等於 \(0.5\)；當 \(\nu > 2\) 時則為 \(0\)。
如何找出臨界值？ 把函數設定為下累積機率 \(P\)，然後嘗試不同的 \(x\)，直到 \(P\) 達到你的目標為止（例如 \(\nu = 1\) 時要讓 \(P = 0.95\)，\(x\) 約為 \(3.8415\)）。
累積機率精確嗎？ 是的，本計算器使用封閉形式的不完全 Gamma 函數，而非數值積分，因此結果可達到機器精度。
