¿Qué es la distribución chi-cuadrado?
La distribución chi-cuadrado (\(\chi^2\)) describe la suma de los cuadrados de variables normales estándar independientes. Se define mediante un único parámetro, los grados de libertad \(\nu\) (la letra griega "nu"), y resulta esencial en el contraste de hipótesis, las pruebas de bondad de ajuste, el análisis de tablas de contingencia y los intervalos de confianza para la varianza. Esta calculadora evalúa, para un \(\nu\) dado, tres funciones relacionadas de \(x\): la densidad de probabilidad \(f\), la probabilidad acumulada inferior \(P(X \le x)\) y la probabilidad acumulada superior \(Q(X > x)\).
Cómo utilizarla
Elige qué función quieres mostrar como resultado principal, introduce los grados de libertad \(\nu\) (cualquier valor mayor que 0) y el punto \(x\) donde deseas evaluarla. El valor inicial de \(x\), el incremento y el número de puntos definen una serie \(x_k = \text{startX} + k\cdot\text{stepX}\) que sirve para construir una tabla o una gráfica de la función elegida. Todos los datos son adimensionales, así que no hace falta convertir ninguna unidad.
La fórmula explicada
La densidad es $$f(x;\,\nu) = \frac{x^{\,\frac{\nu}{2}-1}\,e^{-\frac{x}{2}}}{2^{\frac{\nu}{2}}\,\Gamma\!\left(\frac{\nu}{2}\right)}$$ para \(x \ge 0\). Las probabilidades acumuladas emplean la función gamma incompleta regularizada: $$F(x;\,\nu) = P\!\left(\frac{\nu}{2},\,\frac{x}{2}\right) = \frac{\gamma\!\left(\frac{\nu}{2},\,\frac{x}{2}\right)}{\Gamma\!\left(\frac{\nu}{2}\right)}$$ es la gamma incompleta inferior de \((\nu/2,\, x/2)\) dividida entre \(\Gamma(\nu/2)\), y $$Q(x;\,\nu) = 1 - P\!\left(\frac{\nu}{2},\,\frac{x}{2}\right) = \frac{\Gamma\!\left(\frac{\nu}{2},\,\frac{x}{2}\right)}{\Gamma\!\left(\frac{\nu}{2}\right)}$$ Realizamos todos los cálculos en escala logarítmica y usamos un desarrollo en serie o una fracción continua (algoritmo de Lentz) para la gamma incompleta, lo que da resultados exactos y evita el desbordamiento numérico.
Ejemplo resuelto
Para \(\nu = 3\) y \(x = 2\): \(a = \nu/2 = 1{,}5\) y \(z = x/2 = 1\). La probabilidad acumulada inferior \(P(2;\,3)\) ronda \(0{,}42759\), de modo que \(Q\) es aproximadamente \(0{,}57241\). La densidad da $$f(2;\,3) = \frac{2^{0{,}5} \cdot e^{-1}}{2^{1{,}5} \cdot \Gamma(1{,}5)} \approx 0{,}20755$$
Preguntas frecuentes
¿Por qué f es infinita en x = 0 para valores pequeños de nu? Cuando \(\nu < 2\) la densidad diverge a infinito en \(x = 0\); para \(\nu = 2\) vale \(0{,}5\); y para \(\nu > 2\) es 0 en ese punto.
¿Cómo encuentro un valor crítico? Selecciona la función como probabilidad acumulada inferior \(P\) y prueba valores de \(x\) hasta que \(P\) alcance tu objetivo (por ejemplo, \(P = 0{,}95\) con \(\nu = 1\) da \(x \approx 3{,}8415\)).
¿Es exacta la probabilidad acumulada? Sí: utiliza la fórmula cerrada de la función gamma incompleta en lugar de integración numérica, por lo que los resultados son precisos hasta la precisión de la máquina.
