Qué hace esta calculadora
La distribución chi-cuadrado es una de las más utilizadas en estadística: está detrás de las pruebas de bondad de ajuste, de los contrastes de independencia en tablas de contingencia y de los intervalos de confianza para una varianza. Esta herramienta parte de un punto x y de los grados de libertad \(\nu\) y devuelve tres valores con alta precisión: la densidad de probabilidad \(f(x)\), la probabilidad acumulada inferior \(P(X \le x)\) y la probabilidad superior (de cola) \(Q(X > x)\).
Cómo usarla
Introduce un valor no negativo para x y un valor positivo para los grados de libertad \(\nu\) (normalmente un entero positivo, aunque las fórmulas también funcionan con valores de \(\nu\) no enteros). Pulsa calcular. La densidad (PDF) indica la verosimilitud relativa exactamente en x; la probabilidad inferior da el área a la izquierda (el complemento del valor p de un contraste unilateral por la izquierda); y la probabilidad superior da el área de la cola derecha, que es justamente el valor p que devuelven la mayoría de las pruebas de significación con chi-cuadrado.
La fórmula explicada
La densidad es $$f(x;k) = \frac{x^{\frac{k}{2}-1}\,e^{-x/2}}{2^{k/2}\,\Gamma\!\left(\frac{k}{2}\right)}$$ para \(x > 0\), donde \(\Gamma\) es la función gamma. La probabilidad acumulada coincide con la función gamma incompleta inferior regularizada \(P(k/2,\, x/2)\). La evaluamos numéricamente mediante un desarrollo en serie cuando \(x/2 < k/2 + 1\) y mediante una fracción continua (método de Lentz) en caso contrario, calculando la función gamma con una aproximación de Lanczos del logaritmo de gamma para garantizar la estabilidad.
Ejemplo resuelto
Para \(x = 2\) y \(\nu = 3\), tomamos \(a = k/2 = 1{,}5\) y \(z = x/2 = 1\). La densidad es $$f = \exp\left[(0{,}5)\ln 2 - 1 - 1{,}5\cdot\ln 2 - \ln\Gamma(1{,}5)\right] \approx 0{,}20755.$$ La probabilidad inferior \(P(X \le 2) = P(1{,}5,\, 1) \approx 0{,}42759\), de modo que la probabilidad de la cola superior es $$Q = 1 - 0{,}42759 \approx 0{,}57241.$$
Preguntas frecuentes
¿Qué son los grados de libertad? En los contrastes suelen ser el número de categorías menos las restricciones; por ejemplo, \((\text{filas}-1)(\text{columnas}-1)\) en una tabla de contingencia.
¿Cuál de los valores es el valor p? En una prueba chi-cuadrado estándar, el valor p es la probabilidad acumulada superior \(Q(X > x)\).
¿Puede x ser cero o negativo? En \(x = 0\) la densidad depende de \(\nu\) y la probabilidad acumulada es 0. Un valor negativo de x queda fuera del soporte de la distribución, por lo que \(f = 0\), \(P = 0\) y \(Q = 1\).
