这个计算器能做什么
卡方分布（χ²分布）是统计学中应用最广泛的分布之一，广泛用于拟合优度检验、列联表独立性检验，以及方差的置信区间估计。本工具只需输入一个百分位点 x 和自由度 ν，即可返回三项高精度结果：概率密度 \(f(x)\)、下侧累积概率 \(P(X \le x)\)，以及上侧（尾部）概率 \(Q(X > x)\)。
使用方法
在 x 处填入一个非负数值，在自由度 ν 处填入一个正数（通常为正整数，不过该公式对非整数的 ν 同样成立），然后点击「计算」。概率密度 \(f(x)\) 表示恰好在 x 处的相对似然；下侧概率给出曲线左侧的面积（即单侧下尾检验中 p 值的补数）；上侧概率给出右尾面积，这正是大多数卡方显著性检验所报告的 p 值。
公式详解
当 \(x > 0\) 时，密度函数为 $$f(x;k) = \frac{x^{\frac{k}{2}-1}\,e^{-x/2}}{2^{k/2}\,\Gamma\!\left(\frac{k}{2}\right)}$$ 其中 \(\Gamma\) 为伽马函数。累积概率等于正则化下不完全伽马函数 \(P\!\left(\frac{k}{2}, \frac{x}{2}\right)\)。我们采用数值方法求解：当 \(\frac{x}{2} < \frac{k}{2} + 1\) 时使用级数展开，否则使用连分式展开（Lentz 方法）；而伽马函数则通过 Lanczos 对数伽马近似来计算，以保证数值稳定性。
实例演算
设 \(x = 2\)、\(\nu = 3\)，则 \(a = \frac{k}{2} = 1.5\)，\(z = \frac{x}{2} = 1\)。密度为 $$f = \exp\!\left[(0.5)\ln 2 - 1 - 1.5\cdot\ln 2 - \ln\Gamma(1.5)\right] \approx 0.20755$$ 下侧概率 $$P(X \le 2) = P(1.5, 1) \approx 0.42759$$ 因此上尾概率 $$Q = 1 - 0.42759 \approx 0.57241$$
常见问题
什么是自由度？在检验中，自由度通常等于类别数减去约束数，例如列联表的自由度为 \((\text{行数}-1)(\text{列数}-1)\)。
哪个值才是 p 值？对于标准的卡方检验，p 值就是上侧累积概率 \(Q(X > x)\)。
x 可以为零或负数吗？当 \(x = 0\) 时，密度值取决于 ν，而累积概率为 0。负数 x 超出了分布的取值范围，此时 \(f = 0\)、\(P = 0\)、\(Q = 1\)。
