什么是逆卡方分布？
自由度为 \(\nu\)（nu）的逆卡方分布，是指随机变量 \(Y = 1/X\) 的分布，其中 \(X\) 服从自由度为 \(\nu\) 的标准卡方分布。它在贝叶斯统计中应用广泛，常被用作正态分布方差的共轭先验；在可靠性分析和信号处理模型中也时常出现。本计算器进行的是纯数学运算，因此在世界各地的结果完全一致，不涉及任何地区性规则。
如何使用本计算器
输入分位点 x（任意正实数）以及自由度 \(\nu\)（任意正数，通常为正整数）。工具会返回三个结果：概率密度 \(f(x)\)、下侧累积概率 \(P = P(X \le x)\)，以及上侧累积概率 \(Q = P(X > x)\)。由于 \(P\) 与 \(Q\) 共同描述了整个分布，两者之和恒等于 1。
公式详解
当 \(x > 0\) 时，概率密度为
$$f(x) = \frac{2^{-\nu/2}}{\Gamma\!\left(\frac{\nu}{2}\right)}\, x^{-\frac{\nu}{2}-1}\, e^{-\frac{1}{2x}}$$为保证数值稳定，我们借助对数伽马函数在对数空间中进行计算。累积概率则利用其与卡方分布之间的倒数关系：令 \(s = \nu/2\)、\(z = 1/(2x)\)，则下侧累积概率等于正则化上不完全伽马函数 \(Q(s, z)\)，上侧累积概率等于正则化下不完全伽马函数 \(P(s, z)\)。当 \(z\) 较小时采用级数展开求值，当 \(z\) 较大时则采用连分数（Lentz）方法。
计算示例
取 \(x = 1\)、\(\nu = 1\)，则 \(s = 0.5\)、\(z = 0.5\)。此时概率密度约为 \(f(1) \approx 0.241971\)，下侧累积概率约为 \(P \approx 0.317311\)，上侧累积概率约为 \(Q \approx 0.682689\)，两者之和恰好等于 1。
常见问题
为什么 x 必须大于 0？ 该分布的取值范围是 \(x > 0\)。当 \(x \le 0\) 时密度为 0；由于所有概率质量都集中在正数区间，因此下侧概率为 0，上侧概率为 1。
自由度 \(\nu\) 一定要是整数吗？ 不一定。公式使用的是伽马函数，因此任意实数 \(\nu > 0\) 均可，只是实际应用中自由度多为正整数。
这是缩放逆卡方分布吗？ 不是。本计算器对应的是标准（非缩放）逆卡方分布，即卡方变量的倒数所服从的分布。
