Ters ki-kare dağılımı nedir?
ν (nu) serbestlik dereceli ters ki-kare dağılımı, Y = 1/X değişkeninin dağılımıdır; burada X, ν serbestlik dereceli standart ki-kare dağılımına uyar. Bu dağılım, Bayes istatistiğinde normal dağılımın varyansı için eşlenik (conjugate) ön dağılım olarak yaygın biçimde kullanılır; ayrıca güvenilirlik analizi ve sinyal işleme modellerinde de karşımıza çıkar. Bu hesaplayıcı tamamen matematiksel bir araç olduğundan, hiçbir bölgesel kurala bağlı olmaksızın her yerde aynı şekilde geçerlidir.
Bu hesaplayıcı nasıl kullanılır?
x yüzdelik noktasını (herhangi bir pozitif gerçek sayı) ve ν serbestlik derecesini (herhangi bir pozitif değer; genellikle pozitif tam sayı) girin. Araç üç değer döndürür: olasılık yoğunluğu \(f(x)\), alt kümülatif olasılık \(P = P(X \le x)\) ve üst kümülatif olasılık \(Q = P(X > x)\). \(P\) ile \(Q\) dağılımın tamamını tanımladığı için toplamları her zaman 1'e eşittir.
Formülün açıklaması
Yoğunluk fonksiyonu, \(x > 0\) için $$f(x) = \frac{2^{-\nu/2}}{\Gamma\!\left(\frac{\nu}{2}\right)}\, x^{-\frac{\nu}{2}-1}\, e^{-\frac{1}{2x}}$$ şeklindedir. Sayısal kararlılık açısından bu değeri, log-gama fonksiyonunu kullanarak logaritmik uzayda hesaplıyoruz. Kümülatif olasılıklar ise ki-kare dağılımıyla kurulan ters (resiprokal) bağlantıdan yararlanır: \(s = \nu/2\) ve \(z = 1/(2x)\) olmak üzere, alt kümülatif olasılık düzenlenmiş üst eksik gama fonksiyonu \(Q(s, z)\) değerine, üst kümülatif olasılık ise düzenlenmiş alt eksik gama fonksiyonu \(P(s, z)\) değerine eşittir. Bu fonksiyonlar küçük \(z\) değerleri için seri açılımı, büyük \(z\) değerleri için ise sürekli kesir (Lentz) yöntemiyle hesaplanır.
Çözümlü örnek
\(x = 1\) ve \(\nu = 1\) alalım. Bu durumda \(s = 0{,}5\) ve \(z = 0{,}5\) olur. Yoğunluk değeri \(f(1) \approx 0{,}241971\) çıkar. Alt kümülatif olasılık \(P \approx 0{,}317311\), üst kümülatif olasılık ise \(Q \approx 0{,}682689\) olup bunların toplamı doğru biçimde 1'e eşittir.
Sık sorulan sorular
x neden 0'dan büyük olmak zorunda? Dağılımın tanım aralığı \(x > 0\)'dır. \(x \le 0\) için yoğunluk 0'dır; tüm olasılık kütlesi bu değerin üzerinde yer aldığından alt olasılık 0, üst olasılık ise 1 olur.
ν tam sayı olmak zorunda mı? Hayır. Formül gama fonksiyonunu kullandığından \(\nu > 0\) olan herhangi bir gerçek değer geçerlidir; yine de serbestlik dereceleri çoğunlukla pozitif tam sayılardır.
Bu, ölçeklenmiş ters ki-kare dağılımı mı? Hayır. Bu, bir ki-kare değişkeninin tersine karşılık gelen standart (ölçeklenmemiş) ters ki-kare dağılımıdır.
