什麼是逆卡方分配？
自由度為 \(\nu\)（nu）的逆卡方分配，指的是 \(Y = 1/X\) 的分配，其中 \(X\) 服從自由度為 \(\nu\) 的標準卡方分配。在貝氏統計中，它常被當作常態分配變異數的共軛先驗（conjugate prior），在可靠度分析與訊號處理模型中也經常出現。本計算機純粹進行數學運算，因此在世界各地的結果完全相同，不受任何地區規則影響。
如何使用本計算機
輸入百分位點 x（任意正實數）以及自由度 \(\nu\)（任意正數，通常為正整數）。本工具會回傳三項數值：機率密度 \(f(x)\)、下累積機率 \(P = P(X \le x)\)，以及上累積機率 \(Q = P(X > x)\)。由於 \(P\) 與 \(Q\) 共同描述了整個分配，兩者相加恆等於 1。
公式解析
當 \(x > 0\) 時，密度為 $$f(x) = \frac{2^{-\nu/2}}{\Gamma\!\left(\frac{\nu}{2}\right)}\, x^{-\frac{\nu}{2}-1}\, e^{-\frac{1}{2x}}$$ 為了確保數值穩定，我們會利用對數伽瑪函數（log-gamma）在對數空間中進行計算。累積機率則透過與卡方分配的倒數關聯求得：令 \(s = \nu/2\)、\(z = 1/(2x)\)，下累積機率等於正則化上不完全伽瑪函數 \(Q(s, z)\)，上累積機率則等於正則化下不完全伽瑪函數 \(P(s, z)\)。當 \(z\) 較小時以級數展開求值，\(z\) 較大時則採用連分數（Lentz）法計算。
實例演算
假設 \(x = 1\)、\(\nu = 1\)，則 \(s = 0.5\)、\(z = 0.5\)。此時密度約為 \(f(1) \approx 0.241971\)，下累積機率約為 \(P \approx 0.317311\)，上累積機率約為 \(Q \approx 0.682689\)，兩者相加恰好等於 1。
常見問題
為什麼 x 必須大於 0？此分配的定義域為 \(x > 0\)。當 \(x \le 0\) 時密度為 0；所有機率質量都落在大於 0 的範圍，因此下累積機率為 0，上累積機率為 1。
\(\nu\) 一定要是整數嗎？不一定。公式使用伽瑪函數，因此任何實數 \(\nu > 0\) 都適用，只是自由度在實務上多半為正整數。
這是縮放逆卡方分配（scaled inverse chi-squared）嗎？不是。本計算機計算的是標準（未縮放）逆卡方分配，對應於卡方變數的倒數。
