這個計算器的用途
本工具用來計算對數常態分布（lognormal distribution）的百分位數（分位數）。只要輸入一個累積機率與分布的參數，它就會回傳對應的數值 \(x\)，也就是對數常態累積分布函數（CDF）剛好達到該機率時的 \(x\) 值。這正是所謂的「反累積分布函數」，又稱為分位數函數（quantile function）。對數常態分布廣泛應用於各種「恆為正值且右偏」的量，例如所得分布、粒徑、股價、可靠度壽命以及生物濃度等。這是一項通用的數學工具，在世界各地的計算方式完全相同。
使用方法
首先選擇您的機率屬於下尾值 \(\text{P}(X \le x)\) 還是上尾值 \(\text{P}(X > x)\)。接著輸入機率（必須嚴格介於 0 與 1 之間）。然後輸入 \(\ln(X)\) 所服從的常態分布的兩個參數：位置參數 \(\mu\)（即 \(\ln X\) 的平均數）與尺度參數 \(\sigma\)（即 \(\ln X\) 的標準差，必須為正值）。按下計算，即可得到百分位數 \(x\)。
公式說明
當 \(\ln(X)\) 服從平均數為 \(\mu\)、標準差為 \(\sigma\) 的常態分布時，變數 \(X\) 即為對數常態分布。其下尾 CDF 為 $$P(x) = \Phi\!\left( \frac{\ln x - \mu}{\sigma} \right)$$其中 \(\Phi\) 為標準常態 CDF。將其反轉後可得 $$x = \exp\!\left( \mu + \sigma \cdot \Phi^{-1}(p) \right)$$若您輸入的是上尾機率 \(Q\)，我們會先以 \(p = 1 - Q\) 進行轉換。標準常態分位數 \(\Phi^{-1}\) 採用 Acklam 的有理函數近似法計算，精度約達 \(10^{-9}\)。請特別注意：\(\mu\) 與 \(\sigma\) 描述的是 \(\ln X\)，而非 \(X\) 本身；\(X\) 的平均數為 \(\exp(\mu + \sigma^2/2)\)。
範例演算
以下尾模式為例，機率 = 0.975、\(\mu = 0\)、\(\sigma = 1\)。此時 \(p = 0.975\)，\(\Phi^{-1}(0.975) = 1.959964\)（即經典的 1.96 臨界值）。於是 $$x = \exp(0 + 1 \times 1.959964) = 7.0994$$也就是說，標準對數常態分布的第 97.5 百分位數約為 7.099。
常見問題
如果改用上尾模式呢？在上尾模式下輸入 \(Q = 0.025\)，會得到 \(p = 1 - 0.025 = 0.975\)，與上述範例相同，\(x \approx 7.099\)。
中位數是多少？當 \(p = 0.5\) 時，\(\Phi^{-1}(0.5) = 0\)，因此 \(x = \exp(\mu)\)。換言之，無論 \(\sigma\) 為何，對數常態分布的中位數都是 \(\exp(\mu)\)。
為什麼必須滿足 \(0 < p < 1\)？當 \(p\) 趨近 0 時，百分位數會趨近 0；當 \(p\) 趨近 1 時，則會發散至無限大，因此兩端點皆不被接受。由於結果是指數函數，所以一定為正值。
