這個計算器的用途
本工具用來計算卜瓦松分布（Poisson distribution）的百分位數。只要給定平均值（λ）與目標累積機率，計算器就會回傳對應該機率的整數事件次數 x。它其實就是卜瓦松累積分布函數（CDF）的反函數，並提供兩種模式：下尾累積 P 與上尾累積 Q。
使用方法
先選擇累積模式。在下尾累積 P 模式中，輸入目標下尾機率 P，計算器會回傳滿足 \(P(x, \lambda) \ge P\) 的最小整數 x；在上尾累積 Q 模式中，輸入上尾機率 Q，則會回傳滿足 \(Q(x, \lambda) \ge Q\) 的最大 x，本站採用「含 x」的定義慣例 \(Q(x) = 1 - P(x-1)\)。接著輸入平均值 λ（事件發生的期望次數）。所有輸入值皆為無單位的純數。
公式說明
機率質量函數為 $$f(t, \lambda) = \frac{e^{-\lambda}\,\lambda^{t}}{t!}.$$ 為了數值穩定性，各項採用遞迴方式逐步計算：\(\text{term}(0) = e^{-\lambda}\)，\(\text{term}(t) = \text{term}(t-1) \cdot \frac{\lambda}{t}\)，藉此避免 \(\lambda^{t}\) 與 \(t!\) 造成的溢位問題。下尾累積機率即為這些項的逐步加總：$$x^{*} = \min\left\{\, x \in \mathbb{Z}_{\ge 0} : \sum_{k=0}^{x} \frac{e^{-\lambda}\,\lambda^{k}}{k!} \ge \text{p} \,\right\}, \quad \lambda = \text{Mean } \lambda$$ 上尾累積機率則為 1 減去下移一個索引的下尾累積：$$x^{*} = \max\left\{\, x \in \mathbb{Z}_{\ge 0} : 1 - \sum_{k=0}^{x-1} \frac{e^{-\lambda}\,\lambda^{k}}{k!} \ge \text{p} \,\right\}, \quad \lambda = \text{Mean } \lambda$$
實例演算
在下尾模式中，設 \(P = 0.3\)、\(\lambda = 5\)，逐步累積結果為 \(P(0)=0.0067\)、\(P(1)=0.0404\)、\(P(2)=0.1247\)、\(P(3)=0.2650\)、\(P(4)=0.4405\)。第一個達到 0.3 的 x 為 \(x = 4\)。在上尾模式中，設 \(Q = 0.3\)、\(\lambda = 5\)，\(Q(6)=0.384\)、\(Q(7)=0.238\)，因此滿足 \(Q \ge 0.3\) 的最大 x 為 \(x = 6\)。
常見問題
為什麼上尾模式的加總會包含 x？本站將 \(Q(x)\) 定義為 t 由 x 到無限大的總和，也就是 \(Q(x) = 1 - P(x-1)\)，這與常見的 \(P(X > x)\) 定義不同，請特別留意。
當 λ = 0 時會發生什麼？此時所有機率都集中在 \(t = 0\)，因此下尾百分位數為 0，而對任何 \(x \ge 1\) 來說 \(Q(x)=0\)。
若輸入的機率超出 0 到 1 的範圍會如何？計算器會標示為無效輸入；機率必須滿足 \(0 \le P, Q \le 1\)，且 \(\lambda \ge 0\)。
