什麼是羅吉斯分布？
羅吉斯分布（Logistic distribution）是一種連續型機率分布，外型與常態分布相似，但尾端較厚（重尾）。它由位置參數 a（即其平均數與中位數）以及尺度參數 b > 0 所決定。其累積分布函數正是大家熟悉的羅吉斯 S 型曲線（sigmoid），這也是為什麼羅吉斯分布廣泛出現在羅吉斯迴歸、成長模型與機器學習之中。本計算器屬於純數學運算，在任何地區都完全適用，不含任何特定國家的假設。
如何使用本計算器
先選擇要計算的函數：機率密度 f、下累積機率 P（CDF）或上累積機率 Q（存活函數）。接著輸入位置參數 a 與尺度參數 b。然後設定 x 的格點：起始 x、間距，以及點數。工具會依 \(x_i = \text{startX} + i\cdot\text{stepX}\)（\(i = 0..\text{points}-1\)）產生格點，並在每一點計算所選函數，顯示第一個 x 的主要結果值、列出整個數列，並繪製折線圖。
公式說明
令標準化變數 \(z = (x - a)/b\)，並設 \(E = e^{-z}\)。密度為 $$f = \frac{1}{b}\cdot\frac{E}{(1+E)^{2}}$$ 若以 sigmoid 函數 \(\sigma = 1/(1+E)\) 表示，則等同於 \(\sigma(1-\sigma)/b\)。下累積分布函數即 $$P = \sigma = \frac{1}{1+e^{-z}}$$ 從 0 單調遞增到 1；上累積（存活）函數則為 \(Q = 1 - P\)。為避免數值溢位，sigmoid 在 \(z \geq 0\) 時以 \(1/(1+e^{-z})\) 計算，在 \(z < 0\) 時則以 \(e^{z}/(1+e^{z})\) 計算。
實例演算
設 \(a = 0\)、\(b = 0.7\)，於 \(x = 0.7\) 處計算。此時 \(z = 1\)、\(E = e^{-1} = 0.367879\)。密度 $$f = \frac{1}{0.7}\cdot\frac{0.367879}{(1.367879)^{2}} \approx 0.28087$$ 下累積分布 $$P = \frac{1}{1.367879} \approx 0.73106$$ 上累積分布 $$Q = 1 - 0.73106 \approx 0.26894$$ 在中位數 \(x = a = 0\) 處，密度達到峰值 \(1/(4b) = 0.35714\)，且 \(P = Q = 0.5\)。
常見問題
如果 b 為 0 或負數會怎樣？此時分布沒有定義；本計算器要求 \(b > 0\)，否則會回傳錯誤。
平均數與變異數是多少？平均數（同時也是中位數）等於 \(a\)，變異數為 \((\pi^{2}/3)\cdot b^{2}\)。
可以使用遞減的格點嗎？可以——將間距設為負值，x 值就會遞減；若間距設為 0，則每個點都會在起始 x 處計算。
