¿Qué es la distribución logística?
La distribución logística es una distribución de probabilidad continua con una forma parecida a la de la distribución normal, pero con colas más pesadas. Queda definida por un parámetro de localización a (que coincide con su media y su mediana) y un parámetro de escala b > 0. Su función de distribución acumulada es la conocida sigmoide logística, motivo por el cual esta distribución aparece una y otra vez en la regresión logística, en el modelado de crecimiento y en el aprendizaje automático. Esta calculadora es matemática pura y funciona igual en cualquier país, sin supuestos específicos de ningún sistema nacional.
Cómo usar esta calculadora
Elige qué función quieres calcular: la densidad de probabilidad f, la probabilidad acumulada inferior P (la CDF) o la probabilidad acumulada superior Q (la función de supervivencia). Introduce la localización a y la escala b. A continuación, define la rejilla de x: el valor inicial de x, el paso y el número de puntos. La herramienta genera \(x_i = \text{startX} + i\cdot\text{stepX}\) para \(i = 0..\text{points}-1\), evalúa la función elegida en cada punto, muestra el valor destacado en el primer x, enumera la serie completa y traza una gráfica de líneas.
La fórmula explicada
Definimos la variable tipificada \(z = (x - a)/b\) y \(E = e^{-z}\). La densidad es $$f = \frac{1}{b}\cdot\frac{E}{(1+E)^{2}}$$ Si escribimos la sigmoide como \(\sigma = 1/(1+E)\), esto equivale a \(\sigma(1-\sigma)/b\). La CDF inferior es simplemente $$P = \sigma = \frac{1}{1+e^{-z}}$$ que crece de forma monótona de 0 a 1, y la función superior (de supervivencia) es \(Q = 1 - P\). Para evitar el desbordamiento numérico, la sigmoide se calcula como \(1/(1+e^{-z})\) cuando \(z \geq 0\) y como \(e^z/(1+e^z)\) cuando \(z < 0\).
Ejemplo resuelto
Con \(a = 0\) y \(b = 0.7\), evaluamos en \(x = 0.7\). Entonces \(z = 1\) y \(E = e^{-1} = 0.367879\). La densidad es $$f = \frac{1}{0.7}\cdot\frac{0.367879}{(1.367879)^{2}} \approx 0.28087$$ La CDF inferior vale \(P = 1/1.367879 \approx 0.73106\). La CDF superior vale \(Q = 1 - 0.73106 \approx 0.26894\). En la mediana \(x = a = 0\) se obtiene la densidad máxima \(1/(4b) = 0.35714\) y \(P = Q = 0.5\).
Preguntas frecuentes
¿Qué ocurre si b es cero o negativo? La distribución no está definida; la calculadora exige \(b > 0\) y, en caso contrario, devuelve un error.
¿Cuáles son la media y la varianza? La media (y la mediana) es igual a \(a\), y la varianza es \((\pi^{2}/3)\cdot b^{2}\).
¿Puedo usar una rejilla descendente? Sí: un paso negativo genera valores de x decrecientes, y un paso de 0 evalúa todos los puntos en el valor inicial de x.
