¿Qué es la calculadora de la distribución t de Student?
Esta herramienta evalúa la distribución t de Student para un valor dado x (el estadístico t) y unos grados de libertad ν. Devuelve tres magnitudes: la densidad de probabilidad \(f(x)\), la probabilidad acumulada inferior \(P(T \le x)\) y la probabilidad acumulada superior \(Q = P(T > x) = 1 - P\). Se trata de matemáticas puras de aplicación universal: no intervienen reglas propias de ningún país.
Cómo utilizarla
Introduce cualquier número real en x (puede ser negativo) y un número positivo en los grados de libertad ν (lo habitual es un entero como 5, 10 o 30, aunque se admite cualquier \(\nu > 0\)). Pulsa calcular para obtener la densidad y ambas probabilidades de cola. A medida que ν crece, la distribución converge hacia la normal estándar \(N(0, 1)\).
La fórmula explicada
La densidad es $$f(\text{x}) = \frac{\Gamma\!\left(\frac{\nu+1}{2}\right)}{\sqrt{\nu\pi}\;\Gamma\!\left(\frac{\nu}{2}\right)}\left(1 + \frac{\text{x}^{2}}{\nu}\right)^{-\frac{\nu+1}{2}}$$ donde \(\Gamma\) es la función gamma. La probabilidad acumulada se calcula con la función beta incompleta regularizada: con \(z = \nu/(\nu + \text{x}^2)\), \(P(T \le x) = 1 - \tfrac{1}{2}\,I_z(\nu/2, 1/2)\) para \(x \ge 0\) y \(\tfrac{1}{2}\,I_z(\nu/2, 1/2)\) para \(x < 0\). Calculamos la densidad en espacio logarítmico mediante una aproximación de Lanczos del logaritmo de gamma, y la beta incompleta con una fracción continua de Lentz para garantizar la estabilidad numérica.
Ejemplo resuelto
Para \(x = 1.0\) y \(\nu = 10\): la densidad \(f(1) \approx 0.2304\). La probabilidad acumulada inferior \(P(T \le 1.0) \approx 0.8303\), de modo que la probabilidad acumulada superior \(Q \approx 0.1697\), lo que coincide con las tablas t habituales.
Preguntas frecuentes
¿Puede ν ser un número no entero? Sí. La fórmula es válida para cualquier \(\nu > 0\) real; la calculadora admite grados de libertad decimales.
¿Qué significa la probabilidad acumulada superior? Es el área de la cola derecha, \(P(T > x)\). Para obtener un valor p bilateral con x positivo, deberías usar \(2\cdot Q\).
¿Por qué se parece a una curva normal cuando ν es grande? Al aumentar los grados de libertad, las colas pesadas de la distribución t se reducen y esta se aproxima a la distribución normal estándar.
