Qué hace esta herramienta
Este generador produce una lista de números pseudoaleatorios extraídos de una distribución t de Student con un número de grados de libertad (v) que tú decides. La distribución t tiene forma de campana y es simétrica, pero presenta colas más pesadas que la normal estándar. Aparece de forma natural al estimar la media de una población con distribución normal a partir de una muestra pequeña con varianza desconocida, y es la base de la prueba t y de los intervalos de confianza. A medida que v crece, la distribución t converge hacia la normal estándar \(\mathcal{N}(0,1)\). Se trata de una herramienta puramente matemática, sin supuestos regionales de ningún tipo.
Cómo utilizarla
Introduce los grados de libertad v (cualquier número real mayor que 0; el valor predeterminado es 2) y la cantidad de valores aleatorios que necesitas (un entero entre 1 y 1000; el valor predeterminado es 10). Pulsa calcular y obtendrás una nueva lista de muestras con distribución t. Como las extracciones uniformes subyacentes son aleatorias, cada ejecución te dará números distintos, pero todos seguirán siempre la misma distribución objetivo.
La fórmula explicada
La densidad es \(f(x,v) = (1 + x^{2}/v)^{-(v+1)/2}\) dividida entre \(\sqrt{v}\,B(1/2,\ v/2)\), donde \(B\) es la función Beta. Para muestrear de forma eficiente recurrimos a la representación clásica: se extrae \(Z\) de una normal estándar y \(C\) de una chi-cuadrado con v grados de libertad; entonces
$$T = Z \cdot \sqrt{\frac{v}{C}}$$sigue exactamente una distribución t. Internamente, \(Z\) se obtiene mediante la transformación de Box-Muller y \(C\) mediante un generador \(\text{Gamma}(v/2,\ 2)\) (Marsaglia-Tsang), válido para cualquier número real \(v > 0\).
Ejemplo resuelto
Con \(v = 2\), supongamos que una ejecución da \(Z = 0{,}50\) y una extracción chi-cuadrado \(C = 1{,}20\). Entonces
$$T = 0{,}50 \cdot \sqrt{\frac{2}{1{,}20}} = 0{,}50 \cdot 1{,}29099 = 0{,}6455$$Un segundo par \(Z = -1{,}10\), \(C = 3{,}00\) da \(T = -0{,}8982\), y un tercero \(Z = 0{,}20\), \(C = 0{,}40\) da \(T = 0{,}4472\). Estos tres valores ilustran una muestra para una cantidad = 3.
Preguntas frecuentes
¿Por qué algunos valores son enormes? Para \(v \le 1\) la media no está definida y para \(v \le 2\) la varianza es infinita, así que las extracciones de gran magnitud son esperables; no son errores.
¿Por qué cambian los resultados en cada ejecución? Cada extracción utiliza nuevos números uniformes aleatorios, por lo que la lista varía cada vez aunque siga manteniendo la distribución t.
¿Y si v es muy grande? La distribución se comporta de manera casi idéntica a una normal estándar \(\mathcal{N}(0,1)\).
