À quoi sert cet outil
Ce générateur produit une liste de nombres pseudo-aléatoires tirés d'une loi de Student (loi t) avec un nombre de degrés de liberté (v) choisi. La loi de Student est une distribution symétrique en forme de cloche, dont les queues sont plus épaisses que celles de la loi normale centrée réduite. Elle apparaît naturellement lorsqu'on estime la moyenne d'une population gaussienne à partir d'un petit échantillon dont la variance est inconnue, et elle est au cœur du test de Student et des intervalles de confiance. À mesure que v augmente, la loi de Student converge vers la loi normale centrée réduite \(\mathcal{N}(0,1)\). Il s'agit d'un outil purement mathématique, sans aucune hypothèse régionale.
Comment l'utiliser
Saisissez les degrés de liberté v (tout nombre réel strictement supérieur à 0 ; la valeur par défaut est 2) ainsi que le nombre de valeurs aléatoires souhaité (un entier de 1 à 1000 ; la valeur par défaut est 10). Cliquez sur calculer pour obtenir une nouvelle liste de tirages suivant la loi de Student. Comme les tirages uniformes sous-jacents sont aléatoires, les nombres changent à chaque exécution, tout en respectant toujours la même loi cible.
La formule expliquée
La densité s'écrit \(f(x,v) = (1 + x^{2}/v)^{-(v+1)/2}\) divisé par \(\sqrt{v}\) fois \(B(1/2, v/2)\), où \(B\) désigne la fonction Bêta. Pour échantillonner efficacement, on utilise la représentation classique : on tire \(Z\) selon une loi normale centrée réduite et \(C\) selon une loi du khi-deux à v degrés de liberté, puis
$$T = Z \cdot \sqrt{\frac{v}{C}}$$suit exactement une loi de Student. En interne, \(Z\) est obtenu par la transformation de Box-Muller et \(C\) par un échantillonneur \(\text{Gamma}(v/2, 2)\) (Marsaglia-Tsang), valable pour tout réel \(v > 0\).
Exemple concret
Avec \(v = 2\), supposons qu'une exécution donne \(Z = 0{,}50\) et un tirage du khi-deux \(C = 1{,}20\). Alors
$$T = 0{,}50 \cdot \sqrt{\frac{2}{1{,}20}} = 0{,}50 \cdot 1{,}29099 = 0{,}6455$$Une deuxième paire \(Z = -1{,}10\), \(C = 3{,}00\) donne \(T = -0{,}8982\), et une troisième \(Z = 0{,}20\), \(C = 0{,}40\) donne \(T = 0{,}4472\). Ces trois valeurs illustrent un échantillon pour une quantité égale à 3.
FAQ
Pourquoi certaines valeurs sont-elles énormes ? Pour \(v \le 1\), la moyenne n'est pas définie et pour \(v \le 2\), la variance est infinie : des tirages de grande amplitude sont donc attendus, ce ne sont pas des erreurs.
Pourquoi les résultats changent-ils à chaque exécution ? Chaque tirage utilise de nouveaux nombres uniformes : la liste diffère à chaque fois, tout en respectant la loi de Student.
Et si v est très grand ? La distribution se comporte alors quasiment comme une loi normale centrée réduite \(\mathcal{N}(0,1)\).
