Générateur de nombres aléatoires suivant une loi log-normale

Entrez le calcul

μ (mean of the underlying normal)

σ (standard deviation of the underlying normal)

Nombre de valeurs aléatoires à générer

Chiffres significatifs 6 10 14 20 30 40 50

Formule

Show calculation steps (1)

1. Distribution Statistics

   

   Theoretical mean, median, and variance of the log-normal distribution from mu and sigma.

Résultats

Nombres aléatoires log-normaux générés

10

valeurs log-normales positives (Box-Muller)

0.2.171743007

1.1.699295234

2.8.086851721

3.1.902731046

4.0.3345459848

5.13.29085234

6.8.062355091

7.5.106340490

8.38.18880488

9.18.02112277

Theoretical mean E[X] = exp(μ + σ²/2)	20,085537
Theoretical median = exp(μ)	2,718282
Variance théorique Var[X]	21 623,037001

À quoi sert ce générateur

Cet outil produit une liste de nombres pseudo-aléatoires qui suivent une loi log-normale. Une variable aléatoire X est dite log-normale lorsque son logarithme népérien, \(\ln(X)\), suit une loi normale. Le générateur commence par créer des variables normales centrées réduites à l'aide de la célèbre transformation de Box-Muller, les met à l'échelle pour obtenir la loi normale cible \(N(\mu, \sigma^2)\), puis applique l'exponentielle pour obtenir des valeurs log-normales strictement positives.

La loi log-normale prend des valeurs positives et est asymétrique à droite, avec mode < médiane < moyenne.

À retenir : ce que représentent mu et sigma

Les paramètres \(\mu\) et \(\sigma\) décrivent la loi normale sous-jacente de \(\ln(X)\) — ce ne sont pas la moyenne et l'écart-type de X lui-même. La véritable moyenne de X vaut \(\exp(\mu + \sigma^2/2)\), la médiane vaut \(\exp(\mu)\) et la variance vaut \((\exp(\sigma^2) - 1)\cdot\exp(2\mu + \sigma^2)\). Ces valeurs de référence s'affichent à côté de votre échantillon afin de vous permettre de vérifier la cohérence des résultats.

$$\begin{aligned} \text{Mean} &= \exp\!\left(\mu + \tfrac{1}{2}\sigma^{2}\right) \\ \text{Median} &= \exp\!\left(\mu\right) \\ \text{Var} &= \left(e^{\sigma^{2}} - 1\right) e^{\,2\mu + \sigma^{2}} \end{aligned}$$

Mode d'emploi

Saisissez \(\mu\) (un réel quelconque), \(\sigma\) (nul ou positif) et le nombre de valeurs souhaité (de 1 à 1000). Choisissez le nombre de chiffres significatifs à afficher. Chaque exécution tire de nouveaux nombres aléatoires uniformes : les valeurs changent donc à chaque fois. Comme la méthode de Box-Muller fournit deux variables normales par couple de nombres uniformes, un nombre impair de valeurs entraîne simplement l'abandon d'une variable excédentaire.

La formule expliquée

Pour des variables uniformes \(U_1, U_2\) dans \((0,1]\) :

$$Z = \sqrt{-2\ln U_1}\,\cos(2\pi U_2)$$

donne \(Z \sim N(0,1)\). Ensuite \(Y = \mu + \sigma\cdot Z\) suit \(N(\mu, \sigma^2)\), et \(X = \exp(Y)\) est log-normale. On évite \(\ln(0)\) en bornant \(U_1\) par un epsilon infime.

$$X = \exp\!\left(\mu + \sigma\, Z\right), \quad Z = \sqrt{-2\ln U_1}\,\cos(2\pi U_2)$$

Deux nombres aléatoires uniformes deviennent une loi normale standard Z par Box-Muller, puis sont mis à l'échelle et exponentiés en X.

Exemple détaillé

Avec \(\mu = 1\), \(\sigma = 2\), prenons \(U_1 = 0{,}5\) et \(U_2 = 0{,}25\). On obtient \(R = \sqrt{-2\cdot\ln 0{,}5} = 1{,}17741\). Alors \(Z_1 = R\cdot\cos(\pi/2) = 0\) et \(Z_2 = R\cdot\sin(\pi/2) = 1{,}17741\). D'où \(X_1 = \exp(1) = 2{,}71828\) et \(X_2 = \exp(1 + 2\cdot 1{,}17741) = \exp(3{,}35482) \approx 28{,}64\). La moyenne théorique \(\exp(3) = 20{,}0855\) et la médiane \(\exp(1) = 2{,}71828\) sont cohérentes avec ces résultats.

FAQ

Pourquoi mes valeurs changent-elles à chaque exécution ? Il s'agit d'un générateur stochastique qui utilise Math.random() ; sans graine (seed) fixe, chaque exécution produit un résultat différent.

Que se passe-t-il si sigma = 0 ? La loi devient dégénérée et toutes les valeurs sont égales à \(\exp(\mu)\).

Une valeur peut-elle être négative ? Non — le support d'une loi log-normale est \((0, \infty)\), donc toutes les valeurs produites sont strictement positives.