À quoi sert cet outil
Ce générateur produit une liste de nombres pseudo-aléatoires qui suivent une loi Gamma définie par un paramètre de forme a et un paramètre d'échelle b. La loi Gamma est une distribution continue et strictement positive, très utilisée en ingénierie de la fiabilité, en théorie des files d'attente, en statistique bayésienne (comme loi a priori conjuguée), pour la modélisation des précipitations et des risques en assurance, et plus généralement partout où interviennent des temps d'attente ou des quantités positives à distribution asymétrique. C'est un outil mathématique universel, qui ne dépend d'aucun pays en particulier.
Comment l'utiliser
Saisissez le paramètre de forme a (strictement supérieur à 0), le paramètre d'échelle b (strictement supérieur à 0), puis le nombre de valeurs souhaité (de 1 à 1000). Choisissez le nombre de chiffres significatifs à afficher. Cliquez sur « Calculer » pour obtenir une liste ordonnée de tirages, accompagnée de la moyenne et de la variance de l'échantillon, présentées en regard de la moyenne et de la variance théoriques afin de vérifier la cohérence du résultat.
La formule
La densité s'écrit $$f(x; a, b) = \frac{1}{\Gamma(a)\cdot b} \cdot \left(\frac{x}{b}\right)^{a-1} \cdot e^{-x/b}, \quad x > 0$$ où \(\Gamma(a)\) désigne la fonction gamma. Dans cette paramétrisation par l'échelle, la moyenne vaut \(a\cdot b\) et la variance \(a\cdot b^2\). Attention : \(b\) est un paramètre d'échelle, et non un taux ; si une autre bibliothèque utilise le taux \(\lambda = 1/b\), posez \(b = 1/\lambda\). L'échantillonnage repose sur la méthode de Marsaglia-Tsang (avec « squeeze ») pour \(a \ge 1\), complétée par un facteur correctif de type puissance d'une variable uniforme pour \(a < 1\). Chaque tirage d'échelle unitaire est ensuite multiplié par \(b\) pour appliquer l'échelle.
Exemple concret
Avec \(a = 3\), \(b = 1\) et un effectif de 10, chaque valeur est un tirage Gamma(3,1). La moyenne théorique est \(a\cdot b = 3\) et la variance théorique \(a\cdot b^2 = 3\) (écart-type \(\approx 1{,}732\)). Un ensemble de tirages plausible aurait une moyenne proche de 3 avec une dispersion autour de 1,7. En passant à \(a = 2\), \(b = 5\), la moyenne devient 10 et la variance 50 ; les valeurs restent toujours strictement positives.
Questions fréquentes
Pourquoi les nombres changent-ils à chaque fois ? Le résultat est aléatoire : sauf à fixer une graine (seed), les valeurs diffèrent à chaque exécution. La moyenne et la variance de l'échantillon doivent toutefois rester proches des valeurs théoriques.
Que se passe-t-il si \(a = 1\) ? Gamma(1, b) correspond à la loi exponentielle de moyenne \(b\). Les valeurs entières de \(a\) donnent la loi d'Erlang.
\(b\) est-il un taux ou une échelle ? Il s'agit d'une échelle. La moyenne vaut \(a\cdot b\) : plus \(b\) est grand, plus la distribution s'étale vers de grandes valeurs.
